(UFU-2001) Sabendo-se que um poligono regular de n lados está inserito num circulo de raio 1 e que o poligono possui 9 diagonais, encontre a medida do comprimento de seu lado.

Passo 1

O enunciado oferece um polígono regular de n lados inscrito em um círculo de raio 1 e afirma que ele tem 9 diagonais. Nosso objetivo é, primeiro, determinar n usando a fórmula do número de diagonais e, em seguida, calcular o comprimento do lado desse polígono inscrito.

Passo 2

A fórmula do número de diagonais de um polígono de n lados é
\frac{n(n-3)}{2}\,.
Para este polígono, temos
\frac{n(n-3)}{2} = 9\,.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e rearranjando, obtemos a equação quadrática
n(n-3) = 18 \quad\Longrightarrow\quad n^2 - 3n - 18 = 0.
Resolvendo-a (por fórmula de Bhaskara ou fatoração), o discriminante é
\Delta = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-18) = 9 + 72 = 81
e as raízes são
n = \frac{3 \pm 9}{2}\,.

Passo 4

Das duas raízes, \frac{3+9}{2}=6 e \frac{3-9}{2}=-3, apenas n=6 faz sentido para o número de lados de um polígono. Logo, trata-se de um hexágono regular inscrito em círculo de raio 1.

Passo 5

O comprimento do lado s de um polígono regular de n lados inscrito em círculo de raio R é dado por
s = 2R \,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).
Aqui R=1 e n=6, então
s = 2 \cdot 1 \cdot \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = 2 \cdot \tfrac12 = 1.

Resposta

O comprimento do lado do polígono é 1.

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