(UFU-2001) Sabendo-se que um poligono regular de
lados está inserito num circulo de raio 1 e que o poligono possui 9 diagonais, encontre a medida do comprimento de seu lado.
Passo 1
O enunciado oferece um polígono regular de
lados inscrito em um círculo de raio
e afirma que ele tem
diagonais. Nosso objetivo é, primeiro, determinar
usando a fórmula do número de diagonais e, em seguida, calcular o comprimento do lado desse polígono inscrito.
Passo 2
A fórmula do número de diagonais de um polígono de
lados é
Para este polígono, temos
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando, obtemos a equação quadrática
Resolvendo-a (por fórmula de Bhaskara ou fatoração), o discriminante é
e as raízes são
Passo 4
Das duas raízes,
e
, apenas
faz sentido para o número de lados de um polígono. Logo, trata-se de um hexágono regular inscrito em círculo de raio
.
Passo 5
O comprimento do lado
de um polígono regular de
lados inscrito em círculo de raio
é dado por
Aqui
e
, então
Resposta
O comprimento do lado do polígono é
.