(UFU-99) Se o máximo divisor comum entre os números 144 e (30) p é 36, em que p é um inteiro positivo, então o expoente p é igual a:
a) 1
b) 3
c) 4
d) 2

Passo 1

O enunciado pede o valor de pinZ^+ tal que
gcdl(144,;30^pr)=36
O conteúdo aqui é cálculo de máximo divisor comum usando fatoração em primos.

Passo 2

Vamos fatorar 144 em primos:
144 = 2^4 times 3^2

Passo 3

Agora fatoramos a base 30:
30 = 2^1 times 3^1 times 5^1
Logo,
30^p = 2^p times 3^p times 5^p

Passo 4

O critério de gcd por fatores primos diz que
gcdl(144,,30^pr) =2^min(4,p)times3^min(2,p)times5^min(0,p)
Como 144 não tem fator 5, min(0,p)=0 e esse fator some.

Passo 5

Queremos que
2^min(4,p)times3^min(2,p)=36 onde 36=2^2times3^2
Isso exige min(4,p)=2 e min(2,p)=2.

Passo 6

Da condição min(2,p)=2 segue p>=2.
Da condição min(4,p)=2 segue p<=2.
Portanto p=2.

Resposta

(d)

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