(UFSC-95) Qual o menor número possível de quadrados iguais em que se pode dividir um retângulo cujos lados medem 30 m e 105 m ?

Passo 1

O enunciado pede para dividir um retângulo de lados 30 m e 105 m em quadrados todos iguais, usando o menor número possível deles. Este é um problema de pavimentação com quadrados iguais, onde o tamanho ótimo do quadrado vem do máximo divisor comum (M.D.C.) dos lados do retângulo.

Passo 2

Para que o quadrado divida perfeitamente ambos os lados, o lado do quadrado precisa ser um divisor comum de 30 e 105. O maior divisor comum garante o quadrado de lado máximo e, consequentemente, o menor número de quadrados. Vamos calcular gcd(30,105) pelo algoritmo de Euclides:
105 mod 30 = 15,
30 mod 15 = 0
Logo gcd(30,105)=15.

Passo 3

Isso significa que o maior quadrado possível tem lado de 15 m. Com esse tamanho, cada lado do retângulo será dividido em partes inteiras.

Passo 4

O número de quadrados ao longo da dimensão de 30 m é
3015=2,
e ao longo da dimensão de 105 m é
10515=7
Portanto o total de quadrados é
2 times 7 = 14

Resposta

14

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