(Unicamp-14) O perimetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 \mathrm{~m} e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triāngulo é igual a
a) 3,0 \mathrm{~m}^{2}.
b) 2,0 \mathrm{~m}^{2}.
c) 1,5 \mathrm{~m}^{2}.
d) 3,5 \mathrm{~m}^{2}.

Solução: Alternativa C

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo retângulo cujo perímetro é 6{,}0\\ \mathrm{m} e cujos lados formam uma progressão aritmética (PA). Para resolver, vamos usar:
  1. Definição de termos de uma PA.
  2. A soma dos termos para o perímetro.
  3. Teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo.
  4. Fórmula da área \tfrac{1}{2}\times(\text{cateto}_1)\times(\text{cateto}_2).

Passo 2

Sejam os três termos da PA, em ordem crescente,
a = b - r,\quad b,\quad c = b + r,
onde r é a razão. Como o maior lado c é a hipotenusa, o perímetro é
a + b + c = (b - r) + b + (b + r) = 3b = 6.
Logo,
b = 2.

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras,
a^2 + b^2 = c^2.
Substituindo a = 2 - r, b = 2 e c = 2 + r,
(2 - r)^2 + 2^2 = (2 + r)^2.
Expandindo,
4 - 4r + r^2 + 4 = 4 + 4r + r^2
8 - 4r = 4 + 4r \quad\Longrightarrow\quad 8 - 4 = 8r \quad\Longrightarrow\quad r = 0{,}5.

Passo 4

Agora, os comprimentos dos lados são
a = 2 - 0{,}5 = 1{,}5,\quad b = 2,\quad c = 2 + 0{,}5 = 2{,}5
todos em metros.

Passo 5

Como a e b são os catetos, a área vale
\text{Área} = \frac{1}{2}\times a \times b = \frac{1}{2}\times 1{,}5 \times 2 = 1{,}5\\ \mathrm{m}^2.Á

Resposta

(c)

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