(Escola Naval-86) O sistema de equações \left\{\begin{array}{l}a x+y-z=b \\\ x+2 y+z=2 \\\ x+a y+z=2\end{array}\right. nào possui solução se e só se:
a) a \in\{-1.2;
b) a=-1 eb =-2
c) a=-1 e b \neq-2
d) a= ?
e) a=-1
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações
\begin{cases} a x + y - z = b,\\\ x + 2y + z = 2,\\\ x + a y + z = 2 \end{cases}
e pede os valores de a e b para os quais não há solução. Vamos usar a teoria de sistemas lineares: calculamos o determinante da matriz dos coeficientes para ver quando ela é singular e, nesses casos, analisamos a consistência.
Passo 2
A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} a & 1 & -1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}.
Calculando cada menor temos \det\!\begin{pmatrix}2&1\a&1\end{pmatrix}=2-a, \det\!\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=0 e \det\!\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&a\end{pmatrix}=a-2. Logo
O sistema tem solução única sempre que \det(A)\neq0, isto é, a\neq2 e a\neq-1. Logo não pode faltar solução apenas se a=2 ou a=-1.
Passo 4
Para a=2, as duas últimas equações coincidem e impõem duas restrições em três incógnitas, mas sem gerar contradição. Isso dá sempre infinitas soluções, nunca incompatibilidade.
Passo 5
Para a=-1\), o sistema vira
\[\begin{cases} - x + y - z = b,\\\ x + 2y + z = 2,\\\ x - y + z = 2. \end{cases}
Das duas últimas tiramos y=0\] e \(z=2-x. Substituindo na primeira obtemos
- x + 0 - (2-x)=b \quad\Longrightarrow\quad -2=b.
Se b=-2, há infinitas soluções; se b\neq-2, dá contradição e nenhuma solução.
Passo 6
Portanto, o sistema não possui solução exatamente quando
a=-1 \quad\text{e}\quad b\neq-2.
Resposta
c) a=-1 e b\neq-2
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 7