Usando a derivada do logaritmo, calcule y^prime :
y=e^x(x^3-1)raiz2 x+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = e^x,(x^3-1)raiz2x+1
e indica usar a “derivada do logaritmo”, ou seja, a técnica de diferenciação logarítmica.

Passo 2

Tomamos logaritmo em ambos os lados para simplificar produtos e quocientes:
ln y = lnl(e^x,(x^3-1)r) - tfrac12,ln(2x+1)
Como ln(e^x)=x, isso vira
ln y = x + ln(x^3-1) - tfrac12,ln(2x+1)

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x:
y'y = ddxl(xr) + ddxl(ln(x^3-1)r) - tfrac12,ddxl(ln(2x+1)r)
Calculando cada termo:
ddx(x)=1, ddxl(ln(x^3-1)r)=3x^2x^3-1, ddxl(ln(2x+1)r)=22x+1
Logo
y'y = 1 + 3x^2x^3-1 - 12cdot22x+1 = 1 + 3x^2x^3-1 - 12x+1

Passo 4

Isolando y':
y' = y;l(1 + tfrac3x^2x^3-1 - tfrac12x+1r) = e^x(x^3-1)raiz2x+1;l(1 + 3x^2x^3-1 - 12x+1r)

Passo 5

Para deixar num único quociente, somamos os termos do parêntese:
1 + 3x^2x^3-1 = x^3-1+3x^2x^3-1 = x^3+3x^2-1x^3-1,
portanto
y' = e^x(x^3-1)raiz2x+1 l(x^3+3x^2-1x^3-1-12x+1r)
Fazendo a subtração de frações e simplificando, chega-se a
y' = e^x,l(2x^4+6x^3+3x^2-2xr)(2x+1)^3/2

Resposta

y' = e^x,l(2x^4+6x^3+3x^2-2xr)(2x+1)^3/2

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