Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
y=ln (x^2), x=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de y=lnl(x^2r) no ponto de abscissa x=1. Para isso precisamos lembrar que a inclinação da reta tangente é dada pela derivada y' da função, avaliada em x=1, e que a equação da reta tangente em (x0,y0) com coeficiente angular m é
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 2

Vamos calcular a derivada de y=lnl(x^2r) usando a regra da cadeia. Se definirmos u=x^2, temos y=ln(u) e
u' = ddx(x^2) = 2x,
y' = ddul(ln(u)r)cdot u' = 1ucdot 2x = 2xx^2 = 2x

Passo 3

Avaliaremos agora a derivada e a própria função em x=1:
y(1)=lnl(1^2r)=ln(1)=0,
y'(1)=21=2

Passo 4

Temos o ponto (x0,y0)=(1,0) e coeficiente angular m=2. Substituindo na fórmula da reta tangente:
y - 0 = 2,(x - 1)
implies y = 2x - 2

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 2x - 2

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