Use a definição de multiplicação de matrizes para encontrar (a) A B, (b) B A.
A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 4 & -3\end{array}\right] B=\left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\\\ -3 & 1 \\\\ 0 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de multiplicação de matrizes para encontrar
(a) A B e (b) B A, onde
A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1\\\ 1 & 4 & -3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & 2\\\ -3 & 1\\\ 0 & -2\end{pmatrix}.
Como A é 2\times3 e B é 3\times2, o produto AB será 2\times2. Como B é 3\times2 e A é 2\times3, o produto BA será 3\times3. Vamos usar a regra
(AB)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{3}A_{ik}\,B_{kj},\quad (BA)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{2}B_{ik}\,A_{kj}.

Passo 2

Calcular AB: é uma matriz 2\times2. Cada entrada é
(AB)_{11}=2\cdot1+0\cdot(-3)+1\cdot0=2,\quad (AB)_{12}=2\cdot2+0\cdot1+1\cdot(-2)=4-2=2,
(AB)_{21}=1\cdot1+4\cdot(-3)+(-3)\cdot0=1-12=-11,\quad (AB)_{22}=1\cdot2+4\cdot1+(-3)\cdot(-2)=2+4+6=12.
Logo,
AB=\begin{pmatrix}2 & 2\\\ -11 & 12\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular BA: é uma matriz 3\times3. Cada entrada é
(BA)_{11}=1\cdot2+2\cdot1=4,\quad (BA)_{12}=1\cdot0+2\cdot4=8,\quad (BA)_{13}=1\cdot1+2\cdot(-3)=1-6=-5,
(BA)_{21}=-3\cdot2+1\cdot1=-6+1=-5,\quad (BA)_{22}=-3\cdot0+1\cdot4=4,\quad (BA)_{23}=-3\cdot1+1\cdot(-3)=-3-3=-6,
(BA)_{31}=0\cdot2+(-2)\cdot1=-2,\quad (BA)_{32}=0\cdot0+(-2)\cdot4=-8,\quad (BA)_{33}=0\cdot1+(-2)\cdot(-3)=6.
Logo,
BA=\begin{pmatrix} 4 & 8 & -5\\\\ -5 & 4 & -6\\\\ -2 & -8 & 6 \end{pmatrix}.

Resposta

(a)
AB=\begin{pmatrix}2 & 2\\\ -11 & 12\end{pmatrix}
(b)
BA=\begin{pmatrix} 4 & 8 & -5\\\\ -5 & 4 & -6\\\\ -2 & -8 & 6 \end{pmatrix}

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