Use a definição de multiplicação de matrizes para encontrar (a) A B, (b) B A.
A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 0 & -2 & 3 \\\ 2 & 1 & 4 & -1\end{array}\right] B=\left[\begin{array}{rr}5 & -1 \\\ 0 & 2 \\\ -1 & 3 \\\ 4 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A\in\mathbb{R}^{2\times4},\quad B\in\mathbb{R}^{4\times2},
e pede para calcular AB e BA usando a definição
\text{(C)}_{ij}=\sum_{k}A_{ik}\,B_{kj}.
Como A é 2\times4 e B é 4\times2, temos AB\in\mathbb{R}^{2\times2} e BA\in\mathbb{R}^{4\times4}.

Passo 2

Vamos achar AB. Chamando C=AB, cada entrada C_{ij} é
C_{ij}=\sum_{k=1}^{4} A_{ik} B_{kj}.
Para i=1,2 e j=1,2:
C_{11}=1 \cdot 5 + 0 \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = 5 + 0 + 2 + 12 = 19,
C_{12}=1 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 3 \cdot 2 = -1 + 0 - 6 + 6 = -1,
C_{21}=2 \cdot 5 + 1 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 = 10 + 0 - 4 - 4 = 2,
C_{22}=2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = -2 + 2 + 12 - 2 = 10.
Logo,
AB = \begin{pmatrix}19 & -1 \\[6pt] 2 & 10\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora BA. Chamando D=BA, temos D \in \mathbb{R}^{4 \times 4} e
D_{ij}=\sum_{k=1}^{2} B_{ik} \cdot A_{kj}.
Para cada linha i=1,\dots,4 de B e cada coluna j=1,\dots,4 de A:
i=1 ( B_{1*} = [5,-1]):
D_{11} = 5 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 3, \quad D_{12} = 5 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1,
D_{13} = 5 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 = -14, \quad D_{14} = 5 \cdot 3 + (-1) \cdot (-1) = 16.
i=2 ( B_{2*} = [0,2]):
D_{21} = 0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 4, \quad D_{22} = 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2,
D_{23} = 0 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = 8, \quad D_{24} = 0 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = -2.
i=3 ( B_{3*} = [-1,3]):
D_{31} = (-1) \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 5, \quad D_{32} = (-1) \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3,
D_{33} = (-1) \cdot (-2) + 3 \cdot 4 = 14, \quad D_{34} = (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-1) = -6.
i=4 ( B_{4*} = [4,2]):
D_{41} = 4 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 8, \quad D_{42} = 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2,
D_{43} = 4 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 = 0, \quad D_{44} = 4 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 10.
Portanto,
BA = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -14 & 16 \\[4pt] 4 & 2 & 8 & -2 \\[4pt] 5 & 3 & 14 & -6 \\[4pt] 8 & 2 & 0 & 10 \end{pmatrix}.]

Resposta

AB = \begin{pmatrix}19 & -1 \\[6pt] 2 & 10\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -14 & 16 \\[4pt] 4 & 2 & 8 & -2 \\[4pt] 5 & 3 & 14 & -6 \\[4pt] 8 & 2 & 0 & 10 \end{pmatrix}.]

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