Use a eliminação de Gauss para determinar todas as soluções para o sistema de equações dado.
2 x+3 y=4
5 x-6 y=1

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o sistema
\begin{cases} 2x + 3y = 4,\\\\ 5x - 6y = 1. \end{cases}
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss, que consiste em montar a matriz aumentada e usar operações elementares de linha para triangularizar o sistema.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
\begin{pmatrix} 2 & 3 & \vline & 4\\\\ 5 & -6 & \vline & 1 \end{pmatrix}.
Queremos zerar o elemento abaixo de 2 na primeira coluna. Para isso, aplicamos a operação de linha
L_2 \leftarrow L_2 - \tfrac{5}{2}\,L_1.

Passo 3

Após essa operação, obtemos
\begin{pmatrix} 2 & 3 & \vline & 4\\\\ 0 & -\tfrac{27}{2} & \vline & -9 \end{pmatrix}.
A segunda linha corresponde à equação triangular
-\tfrac{27}{2}\,y = -9.

Passo 4

Resolvendo para y:
y = \frac{-9}{-\tfrac{27}{2}} = \frac{-9 \cdot (-2)}{27} = \frac{18}{27} = \tfrac{2}{3}.
Agora substituímos em 2x + 3y = 4:
2x + 3\cdot\tfrac{2}{3} = 4 \implies 2x + 2 = 4 \implies 2x = 2 \implies x = 1.

Resposta

(x,y) = (1, \tfrac{2}{3})

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