Use uma ferramenta de derivação simbólica para determinar a derivada da função. Desenhe o gráfico da função e de sua derivada na mesma janela de visualização. Descreva a comportamento da função quando a derivada é zero.
Passo 1
O enunciado pede para obter a derivada de
usando diferenciação simbólica, desenhar no mesmo plano os gráficos de
e
e descrever o comportamento de
quando
. Vamos precisar da regra da cadeia e da regra do quociente para derivar.
Passo 2
Definimos
de modo que
Pela regra da cadeia,
Para
aplicamos a regra do quociente:
Passo 3
Substituindo em
:
Como
, temos
Passo 4
O domínio natural é
(para manter
e denominadores não nulos). Para todo
, cada fator
e
é positivo, logo
Isto mostra que
é estritamente crescente e não muda de concavidade em pontos internos.
Passo 5
Gráficos qualitativos em mesma janela:
-
parte de , cresce rapidamente para valores baixos de e se aproxima horizontalmente de quando . -
tende a quando (declive muito íngreme) e decresce para quando .
Num esboço,é côncava para baixo e sobe até quase o patamar , enquanto é uma curva positiva que cai de infinito até zero.
Passo 6
Como
nunca se anula (
sempre), não existem pontos críticos em que a derivada seja zero. Isso implica ausência de máximos ou mínimos locais no domínio, e
é monotonicamente crescente.
Resposta
Os gráficos de
e
cabem na mesma janela:
cresce de
a
e
decai de
a
. Como
em todo o domínio, não há pontos onde a derivada se anule e, portanto, não há extremos locais.