Use uma ferramenta de derivação simbólica para determinar a derivada da função. Desenhe o gráfico da função e de sua derivada na mesma janela de visualização. Descreva a comportamento da função quando a derivada é zero.
f(x)=\sqrt{\frac{2 x}{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada de
f(x)=\sqrt{\frac{2x}{x+1}}
usando diferenciação simbólica, desenhar no mesmo plano os gráficos de f e f' e descrever o comportamento de f quando f'(x)=0. Vamos precisar da regra da cadeia e da regra do quociente para derivar.

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac{2x}{x+1},
de modo que
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{\tfrac12}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac12\,u(x)^{-\tfrac12}\cdot u'(x).
Para u'(x) aplicamos a regra do quociente:
u'(x) =\frac{(2)\,(x+1)-2x\,(1)}{(x+1)^2} =\frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} =\frac{2}{(x+1)^2}.

Passo 3

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\frac12\;u(x)^{-\tfrac12}\,\frac{2}{(x+1)^2} =\frac{1}{(x+1)^2}\,\frac{1}{\sqrt{u(x)}}.
Como \sqrt{u(x)}=\sqrt{\tfrac{2x}{x+1}}=\tfrac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x+1}}, temos
f'(x) =\frac{1}{(x+1)^2}\,\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x}} =\frac{1}{\sqrt{2x}\,(x+1)^{3/2}}.

Passo 4

O domínio natural é x>0 (para manter 2x/(x+1)\ge0 e denominadores não nulos). Para todo x>0, cada fator \sqrt{2x} e (x+1)^{3/2} é positivo, logo
f'(x)>0\quad\forall\,x>0.
Isto mostra que f é estritamente crescente e não muda de concavidade em pontos internos.

Passo 5

Gráficos qualitativos em mesma janela:
  • f(x) parte de \lim_{x\to0^+}f(x)=0, cresce rapidamente para valores baixos de x e se aproxima horizontalmente de \sqrt2 quando x\to\infty.
  • f'(x) tende a +\infty quando x\to0^+ (declive muito íngreme) e decresce para 0 quando x\to\infty.
    Num esboço, f é côncava para baixo e sobe até quase o patamar y=\sqrt2, enquanto f' é uma curva positiva que cai de infinito até zero.

Passo 6

Como f'(x) nunca se anula ( f'(x)>0 sempre), não existem pontos críticos em que a derivada seja zero. Isso implica ausência de máximos ou mínimos locais no domínio, e f é monotonicamente crescente.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}\,(x+1)^{3/2}},\quad x>0.
Os gráficos de f e f' cabem na mesma janela: f cresce de 0 a \sqrt2 e f' decai de +\infty a 0. Como f'(x)\neq0 em todo o domínio, não há pontos onde a derivada se anule e, portanto, não há extremos locais.

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