Use a indução matemática para demonstrar que 2^{n}>n^{2}+n sempre que n for um número inteiro maior que 4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que para todo inteiro n>4 vale
2^{n} > n^{2} + n.
O conteúdo aqui é o princípio da indução finita. Vamos fazer o caso base em n=5 e depois o passo indutivo.

Passo 2

Base da indução n=5. Calculamos
2^{5} = 32
e
5^{2} + 5 = 25 + 5 = 30.
Como 32 > 30, a propriedade vale para n=5.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para algum k\ge5 já seja verdade que
2^{k} > k^{2} + k.

Passo 4

Passo indutivo. Precisamos mostrar que então
2^{k+1} > (k+1)^{2} + (k+1).
Começamos por usar a hipótese:
2^{k+1} = 2\cdot 2^{k} > 2\,(k^{2}+k) = 2k^{2} + 2k.
Agora comparamos 2k^{2}+2k com (k+1)^{2}+(k+1):
2k^{2} + 2k \;-\;\bigl[(k+1)^{2} + (k+1)\bigr] = 2k^{2} + 2k - (k^{2} + 2k + 1 + k + 1)
= 2k^{2} + 2k - (k^{2} + 3k + 2) = k^{2} - k - 2 = (k-2)(k+1).
Como k\ge5, temos k-2\ge3 e k+1\ge6, logo (k-2)(k+1)\ge18>0. Isso mostra
2k^{2}+2k > (k+1)^{2} + (k+1),
portanto
2^{k+1} > (k+1)^{2} + (k+1),
concluindo o passo indutivo.

Resposta

Como a base n=5 vale e o passo indutivo está garantido, pelo princípio da indução matemática temos
2^{n} > n^{2} + n
para todo inteiro n>4.

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