Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
Demonstre que 1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 n+1)^{2}=(n+1) (2 n+1)(2 n+3) / 3 sempre que n for um número inteiro não negativo.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, por indução matemática, que a soma dos quadrados dos primeiros n+1 números ímpares,
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2n+1)^{2},
é igual a
\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}.
O método de indução consiste em dois passos: verificar a base n=0 e depois mostrar que, se vale para n=k, vale para n=k+1.

Passo 2

(Base) Para n=0 a soma à esquerda é só 1^{2}=1. À direita,
\frac{(0+1)(2\cdot0+1)(2\cdot0+3)}{3} =\frac{1\cdot1\cdot3}{3} =1.
Logo a fórmula vale para n=0.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que, para algum inteiro k\ge0, seja válida
1^{2}+3^{2}+\cdots+(2k+1)^{2} =\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}.

Passo 4

(Passo indutivo) Para n=k+1 acrescentamos o próximo termo (2(k+1)+1)^{2}=(2k+3)^{2}. Assim,
1^{2}+3^{2}+\cdots+(2k+1)^{2}+(2k+3)^{2} =\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}+(2k+3)^{2}.
Colocando em denominação comum:
=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)+3(2k+3)^{2}}{3} =\frac{(2k+3)\bigl((k+1)(2k+1)+3(2k+3)\bigr)}{3}.
Dentro do parêntese,
(k+1)(2k+1)+3(2k+3) =2k^{2}+3k+1+6k+9 =2k^{2}+9k+10 =(k+2)(2k+5).
Portanto
1^{2}+3^{2}+\cdots+(2(k+1)+1)^{2} =\frac{(k+2)(2k+3)(2k+5)}{3},
que é exatamente a fórmula para n=k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a fórmula
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2n+1)^{2} =\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}
é verdadeira para todo inteiro n\ge0.

Resposta

A fórmula
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2n+1)^{2} =\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}
vale para todo número inteiro não negativo n.

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