Use a indução matemática nos exercícios 3 a 17 para demonstrar as fórmulas de somatório.
Demonstre que
sempre que
for um número inteiro não negativo.
Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, por indução matemática, que a soma dos quadrados dos primeiros
números ímpares,
é igual a
O método de indução consiste em dois passos: verificar a base
e depois mostrar que, se vale para
, vale para
.
Passo 2
(Base) Para
a soma à esquerda é só
. À direita,
Logo a fórmula vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que, para algum inteiro
, seja válida
Passo 4
(Passo indutivo) Para
acrescentamos o próximo termo
. Assim,
Colocando em denominação comum:
Dentro do parêntese,
Portanto
que é exatamente a fórmula para
.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a fórmula
é verdadeira para todo inteiro
.
Resposta
A fórmula
vale para todo número inteiro não negativo
.