Use uma parametrização para expressar a área da superfície como uma integral dupla. Então calcule a integral.
Faixa cilindrica circular A porção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 entre os planos z=1 e z=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície lateral do cilindro
x^2 + y^2 = 1
entre os planos z=1 e z=4.
O conteúdo é parametrização de superfície e cálculo de área via integral dupla de \|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|.

Passo 2

Escolhemos como parâmetros (\theta,z) com \theta\in[0,2\pi] e z\in[1,4].
Uma parametrização natural é
\mathbf{r}(\theta,z) = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;z).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
\mathbf{r}_\theta = (-\sin\theta,\;\cos\theta,\;0), \quad \mathbf{r}_z = (0,0,1).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_z = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;0),
cuja norma vale
\big\|\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_z\big\| = 1.

Passo 4

O elemento de área é \|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\|\,d\theta\,dz = d\theta\,dz, logo
A = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=1}^{4} 1 \,dz\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}(4-1)\,d\theta = 3\int_{0}^{2\pi}d\theta = 6\pi.

Resposta

6\pi

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