Use uma parametrização para expressar a área da superfície como uma integral dupla. Então calcule a integral.
Faixa cilindrica circular A porção do cilindro x^{2}+z^{2}=10 entre os planos y=-1 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície do cilindro x^2+z^2=10 restringido aos planos y=-1 e y=1. Vamos usar uma parametrização da superfície e a fórmula da área de superfície dada por
A=\iint_D \bigl\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\bigr\|\,du\,dv.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro por
\mathbf r(u,v)=\bigl(\sqrt{10}\cos u,\;v,\;\sqrt{10}\sin u\bigr),
com u\in[0,2\pi] e v\in[-1,1]. Então
\mathbf r_u=(-\sqrt{10}\sin u,\,0,\,\sqrt{10}\cos u), \quad \mathbf r_v=(0,\,1,\,0).
O produto vetorial tem norma
\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\| =\sqrt{(-\sqrt{10}\sin u)^2+(\sqrt{10}\cos u)^2} =\sqrt{10}.

Passo 3

Substituindo na integral dupla, obtemos
A =\int_{u=0}^{2\pi}\int_{v=-1}^{1}\sqrt{10}\,dv\,du =\sqrt{10}\,\bigl(2\bigr)\,\bigl(2\pi\bigr) =4\pi\sqrt{10}.

Resposta

A área da faixa cilíndrica é 4\pi\sqrt{10}.

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