Use uma parametrização para expressar a área da superfície como uma integral dupla. Então calcule a integral.
Tronco de cone A porção do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} entre os planos z=2 e z=6.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície do tronco de cone definido por z = \sqrt{x^2 + y^2} entre os planos z=2 e z=6. O conteúdo envolvido é cálculo de área de superfície parametrizada, usando a fórmula
\text{Área}(S) = \iint_D \bigl\|\phi_u \times \phi_v\bigr\| \,du\,dvÁ
em que \varphi(u,v) é uma parametrização da superfície.

Passo 2

Como o cone satisfaz z = \sqrt{x^2+y^2}, em coordenadas cilíndricas temos r = z. Então uma boa parametrização é
\varphi(z,\theta) = \bigl(x(z,\theta),\,y(z,\theta),\,z\bigr) = \bigl(z\cos\theta,\;z\sin\theta,\;z\bigr),
com domínio
2 \,\le z \,\le 6, \quad 0 \,\le \theta \,\le 2\pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\phi_z = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \quad \phi_\theta = (-z\sin\theta,\;z\cos\theta,\;0).
O produto vetorial é
\phi_z \times \phi_\theta = \bigl(-z\cos\theta,\,-z\sin\theta,\;z\bigr)
e sua norma é
\bigl\|\phi_z \times \phi_\theta\bigr\| = \sqrt{(-z\cos\theta)^2 + (-z\sin\theta)^2 + z^2} = z\sqrt{2}.

Passo 4

A área do tronco de cone vem então da integral
\text{Área}(S) = \int_{0}^{2\pi} \int_{2}^{6} \bigl\|\phi_z \times \phi_\theta\bigr\| \,dz\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{2}^{6} z\sqrt{2}\,dz\,d\theta.Á

Passo 5

Para calcular, separemos as integrais:
\int_{2}^{6} z\sqrt{2}\,dz = \sqrt{2}\,\biggl[\frac{z^2}{2}\biggr]_{2}^{6} = \sqrt{2}\,\frac{36 - 4}{2} = 16\sqrt{2}.
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\text{Área}(S) = \int_{0}^{2\pi} 16\sqrt{2}\,d\theta = 16\sqrt{2}\,\bigl[\,\theta\bigr]_{0}^{2\pi} = 32\pi\sqrt{2}.Á

Resposta

A área da superfície do tronco de cone é 32\pi\sqrt{2}.

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