Use uma parametrização para expressar a área da superfície como uma integral dupla. Então calcule a integral.
Tronco de cone A porção do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} / 3 entre os planos z=1 e z=4 / 3.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do cone
z = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{3}
entre os planos z=1 e z=\tfrac{4}{3}.
O conteúdo é a fórmula de área de superfície parametrizada, em que usamos
A = \iint_{D} \bigl\lvert \mathbf X_u \times \mathbf X_v\bigr\rvert \,du\,dv.

Passo 2

Como o cone é naturalmente descrito em coordenadas cilíndricas com r=\sqrt{x^2+y^2} e z=r/3, parametrizamos por
\mathbf X(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r/3\bigr),
com \theta\in[0,2\pi] e r variando de r=3 (quando z=1) até r=4 (quando z=4/3), pois r=3z.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf X_r = \bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1/3\bigr), \quad \mathbf X_\theta = \bigl(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0\bigr).

Passo 4

O produto vetorial é
\mathbf X_r \times \mathbf X_\theta = \Bigl(-\tfrac{r\cos\theta}{3},\;-\tfrac{r\sin\theta}{3},\;r\Bigr),
cuja norma é
\bigl\lvert \mathbf X_r \times \mathbf X_\theta\bigr\rvert = \sqrt{\frac{r^2\cos^2\theta}{9}+\frac{r^2\sin^2\theta}{9}+r^2} = r\,\frac{\sqrt{10}}{3}.

Passo 5

Então a área fica
A = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=3}^{4} \Bigl(r\,\tfrac{\sqrt{10}}{3}\Bigr)\,dr\,d\theta = \frac{\sqrt{10}}{3} \int_{0}^{2\pi}\!\int_{3}^{4} r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calculando as integrais:
\int_{3}^{4} r\,dr = \frac{1}{2}(4^2 - 3^2) = \frac{7}{2}, \qquad \int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
Logo
A = \frac{\sqrt{10}}{3}\,\bigl(2\pi\bigr)\,\frac{7}{2} = \frac{7\pi\sqrt{10}}{3}.

Resposta

A = \frac{7\pi\sqrt{10}}{3}.

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