Use qualquer método para calcular o volume da região limitada pela superfície x^2 / 3+y^2 / 3+
z^2 / 3=a^2 / 3.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região em R^3 definida por
x^2/3+y^2/3+z^2/3<= a^2/3,
que é uma “super-ovoide” (uma super-elipse em 3D). Para calcular o volume, vamos usar integração tripla em coordenadas cartesianas, explorando simetria e uma mudança de variável que transforma a fronteira num simples hiperplano.

Passo 2

Por simetria, a região é simétrica em relação aos três planos coordenados. Então basta calcular o volume no primeiro octante ( x,y,z>=0) e multiplicar por 8. Chamemos esse volume de V1, de modo que o volume total é
V = 8,V1

Passo 3

No primeiro octante, a condição x^2/3+y^2/3+z^2/3<= a^2/3 sugere a mudança de variáveis
u = x^2/3, v = y^2/3, w = z^2/3
Então
x = u^3/2, dx = tfrac32,u^1/2,du,
e de modo análogo para y,z. O jacobiano dessa transformação é
dx,dy,dz = l(tfrac32r)^3 u^1/2v^1/2w^1/2,du,dv,dw

Passo 4

Em termos de (u,v,w), a região no primeiro octante vira o simples cósseno
u>=0, v>=0, w>=0, u+v+w<= a^2/3
Portanto
V1 = integralu+v+w<= a^2/3 l(tfrac32r)^3 u^1/2v^1/2w^1/2,du,dv,dw

Passo 5

Para avaliar
integralu+v+w<= Au^1/2v^1/2w^1/2,du,dv,dw
com A=a^2/3, usamos a fórmula de Dirichlet em dimensão 3:
integralu+v+w<= A prodi=1^3 ui^alphai-1d^3u = A^sumalphai, prodi=1^3Gamma(alphai)Gammal(sumalphai+1r)
Aqui alpha1=alpha2=alpha3=3/2, logo sumalphai=9/2. Assim
integralu+v+w<= Au^1/2v^1/2w^1/2,du,dv,dw = A^9/2,l(Gamma(tfrac32)r)^3Gamma(tfrac112)

Passo 6

Substituindo A=a^2/3 temos A^9/2=(a^2/3)^9/2=a^3. Como
Gamma(tfrac32)=tfracraizpi2 e Gamma(tfrac112)=tfrac945raizpi32, obtemos
integralu+v+w<= a^2/3u^1/2v^1/2w^1/2,du,dv,dw = a^3,l(tfracraizpi2r)^3tfrac945raizpi32 = a^3,4pi945
Multiplicando pelo jacobiano l(tfrac32r)^3=tfrac278
V1 = 278,a^3,4pi945 = a^3,pi70

Passo 7

Finalmente, voltando ao volume total na região completa, multiplicamos por 8:
V = 8,V1 = 8,pi,a^370 = 4pi35,a^3

Resposta

V = 4pi35,a^3

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