Use qualquer método para calcular o volume da região limitada pela superfície
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região em
definida por
que é uma “super-ovoide” (uma super-elipse em 3D). Para calcular o volume, vamos usar integração tripla em coordenadas cartesianas, explorando simetria e uma mudança de variável que transforma a fronteira num simples hiperplano.
Passo 2
Por simetria, a região é simétrica em relação aos três planos coordenados. Então basta calcular o volume no primeiro octante (
) e multiplicar por
. Chamemos esse volume de
, de modo que o volume total é
Passo 3
No primeiro octante, a condição
sugere a mudança de variáveis
Então
e de modo análogo para
. O jacobiano dessa transformação é
Passo 4
Em termos de
, a região no primeiro octante vira o simples cósseno
Portanto
Passo 5
Para avaliar
com
, usamos a fórmula de Dirichlet em dimensão 3:
Aqui
, logo
. Assim
Passo 6
Substituindo
temos
. Como
e
, obtemos
Multiplicando pelo jacobiano
dá
Passo 7
Finalmente, voltando ao volume total na região completa, multiplicamos por
: