Use a regra da cadeia para determinar a derivada dz/dt. Expresse a resposta em termos de x, y e t.
z=\frac{x+y}{x-y} ; x=t^{3}+1, y=1-t^{2}

Passo 1

O enunciado define
z = \frac{x+y}{x-y},
com x e y funções de t:
x = t^3 + 1,\quad y = 1 - t^2.
Queremos \frac{dz}{dt} usando a regra da cadeia, ou seja
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y usando a regra do quociente. Seja u = x+y e v = x-y, então z = u/v. Temos
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{v\cdot\frac{\partial u}{\partial x} - u\cdot\frac{\partial v}{\partial x}}{v^2} = \frac{(x-y)\cdot1 - (x+y)\cdot1}{(x-y)^2} = \frac{x - y - x - y}{(x-y)^2} = \frac{-2y}{(x-y)^2},
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{v\cdot\frac{\partial u}{\partial y} - u\cdot\frac{\partial v}{\partial y}}{v^2} = \frac{(x-y)\cdot1 - (x+y)\cdot(-1)}{(x-y)^2} = \frac{x - y + x + y}{(x-y)^2} = \frac{2x}{(x-y)^2}.

Passo 3

Derivamos x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = 3t^2, \qquad \frac{dy}{dt} = -2t.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} = \frac{-2y}{(x-y)^2}\,3t^2 + \frac{2x}{(x-y)^2}\,(-2t).
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{dz}{dt} = \frac{-6t^2\,y - 4t\,x}{(x-y)^2}.

Resposta

\frac{dz}{dt} = \frac{-6t^2\,y - 4t\,x}{(x-y)^2}.

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