Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
com seis casas decimais, usando uma série de potências.
Conteúdo: expansão em série de Maclaurin de e integração termo a termo.
Conteúdo: expansão em série de Maclaurin de
Passo 2
Começamos com a série de Maclaurin de
, válida para
:
Aqui
, logo
Passo 3
Integramos termo a termo no intervalo
:
Como
, obtemos
Passo 4
Assim a série da integral fica
Denotando o termo geral por
vemos que é uma série alternante com
decrescente para
. Pelo critério da série alternante, o erro ao truncar após
é no máximo
.
Passo 5
Calculamos os primeiros termos numéricos:
Como
, basta somar até
para garantir erro abaixo de
. O somatório parcial é
Arredondando a seis casas decimais dá
.