Use séries de potências para calcular, com a precisão exigida, o valor da quantidade dada.
In ( 0,8 ); quatro casas decimais

Passo 1

O enunciado pede para calcular \ln(0{,}8) usando séries de potências e entregar o valor com quatro casas decimais. Vamos usar a expansão de Taylor de \ln(1+x) e o critério de erro da série alternante para garantir a precisão.

Passo 2

Para ter uma série alternante, escrevemos
\ln(0{,}8)=\ln\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr) =-\ln\Bigl(\tfrac{5}{4}\Bigr) =-\ln\bigl(1+\tfrac{1}{4}\bigr).
A série de Taylor para \ln(1+x) é, para |x|\le1,
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{x^n}{n}.
Logo
\ln(0{,}8) =-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{\bigl(\tfrac14\bigr)^n}{n}.

Passo 3

Pelo teorema da série alternante, o resto R_N ao truncar após N termos satisfaz
\lvert R_N\rvert\le\frac{x^{\,N+1}}{N+1},\quad x=\tfrac14.
Para obter quatro casas decimais com segurança, exigimos
\frac{x^{\,N+1}}{N+1}<5\times10^{-5}.
Testando N=6:
\frac{\bigl(\tfrac14\bigr)^{7}}{7} =\frac{1}{7\cdot4^7} \approx8{,}72\times10^{-6} <5\times10^{-5},
logo basta somar os primeiros 6 termos.

Passo 4

Calculamos
S_6=\sum_{n=1}^{6}(-1)^{\,n-1}\frac{(\tfrac14)^n}{n} =0{,}25 -\frac{0{,}25^2}{2} +\frac{0{,}25^3}{3} -\frac{0{,}25^4}{4} +\frac{0{,}25^5}{5} -\frac{0{,}25^6}{6}.
Numericamente,
S_6 =0{,}25 -0{,}03125 +0{,}00520833 -0{,}00097656 +0{,}00019531 -0{,}00004069 =0{,}22313639.

Passo 5

Como \ln(0{,}8)=-S_6, temos
\ln(0{,}8)\approx -0{,}22313639.
Arredondando para quatro casas decimais,
\ln(0{,}8)\approx -0{,}2231.

Resposta

-0{,}2231

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