[09] (a) Use o teorema da função implícita para demonstrar que a equação
x^3+3 y^2+8 x z^2-3 z^3 y=9
define z como uma função f de x e y em uma vizinhança do ponto p=(1,0,1).
(b) Use o teorema da função implícita para calcular as derivadas parciais fx(1,0) e fy(1,0) de f.
(c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto p=(1,0,1).

Passo 1

Resumindo, queremos aplicar o Teorema da Função Implícita à equação
F(x,y,z)=x^3+3y^2+8x z^2-3z^3y-9=0
no ponto p=(1,0,1). Pelo teorema, basta verificar que F é C^1, que
F(1,0,1)=0
e que a derivada parcial partial F/partial z em p é não nula. A partir daí existe uma função z=f(x,y) C^1 em torno de p.

Passo 2

Calculamos primeiro
F(1,0,1)=1^3+3cdot0^2+8cdot1cdot1^2-3cdot1^3cdot0-9=1+0+8-0-9=0
Em seguida
partial Fpartial z(x,y,z) =16,x,z-9,y,z^2,
logo em p
partial Fpartial z(1,0,1)=16cdot1cdot1-9cdot0cdot1^2=16neq0
Portanto, pelas hipóteses do Teorema da Função Implícita, existe z=f(x,y) C^1 num entorno de (1,0) tal que F(x,y,f(x,y))=0.

Passo 3

Para obter as derivadas parciais usamos
Fx+Fz,fx=0, Fy+Fz,fy=0,
onde
Fx=3x^2+8z^2, Fy=6y-3z^3, Fz=16xz-9yz^2
Em p:
Fx(1,0,1)=3cdot1^2+8cdot1^2=11, Fy(1,0,1)=6cdot0-3cdot1^3=-3, Fz(1,0,1)=16
Logo
fx(1,0)=-Fx(1,0,1)Fz(1,0,1)=-1116, fy(1,0)=-Fy(1,0,1)Fz(1,0,1)=316

Passo 4

A equação do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) em (1,0,1) é
z-1 =fx(1,0),(x-1)+fy(1,0),(y-0),
isto é
z-1 =-1116(x-1)+316,y

Resposta

(a) Como F(1,0,1)=0 e partial F/partial z(1,0,1)=16neq0, o Teorema da Função Implícita garante que existe z=f(x,y) C^1 perto de (1,0).
(b) fx(1,0)=-tfrac1116, fy(1,0)=tfrac316.
(c) Plano tangente:
z=1-1116(x-1)+316y

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