[09] (a) Use o teorema da função implícita para demonstrar que a equação
define
como uma função
de
e
em uma vizinhança do ponto
.
(b) Use o teorema da função implícita para calcular as derivadas parciais
e
de
.
(c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
(b) Use o teorema da função implícita para calcular as derivadas parciais
(c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
Resumindo, queremos aplicar o Teorema da Função Implícita à equação
no ponto
. Pelo teorema, basta verificar que
é
, que
e que a derivada parcial
em
é não nula. A partir daí existe uma função
em torno de
.
Passo 2
Calculamos primeiro
Em seguida
logo em
Portanto, pelas hipóteses do Teorema da Função Implícita, existe
num entorno de
tal que
.
Passo 3
Para obter as derivadas parciais usamos
onde
Em
:
Logo
Passo 4
A equação do plano tangente ao gráfico de
em
é
isto é
Resposta
(a) Como
e
, o Teorema da Função Implícita garante que existe
perto de
.
(b) ,
.
(c) Plano tangente:
(b)
(c) Plano tangente: