[05] (a) Mostre que p=(4,3) é um ponto regular da função G: R^2 R definida por z=G(x, y)=x^2-3 x y+y^3-7.
(b) Encontre a equação da reta tangente à curva de nível
F0=(x, y) in R^2 mid G(x, y)=0
de G associada ao nível z=0 no ponto p=(4,3).

Passo 1

O enunciado nos dá a função GcolonR^2toR definida por
G(x,y)=x^2-3xy+y^3-7
e o ponto p=(4,3). Precisamos (a) mostrar que p é ponto regular, ou seja, nabla G(p)neq(0,0), e (b) encontrar a reta tangente à curva de nível
F0=(x,y)mid G(x,y)=0
em p.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de G:
partial Gpartial x(x,y)=2x-3y,
partial Gpartial y(x,y)=-3x+3y^2

Passo 3

Avaliando em p=(4,3) obtemos
partial Gpartial x(4,3)=2cdot4-3cdot3=8-9=-1,
partial Gpartial y(4,3)=-3cdot4+3cdot3^2=-12+27=15
Logo
nabla G(4,3)=(-1,15)neq(0,0),
portanto p é ponto regular.

Passo 4

A reta tangente à curva de nível G(x,y)=0 em p satisfaz
nabla G(4,3)cdotl((x,y)-(4,3)r)=0,
isto é,
-1,(x-4)+15,(y-3)=0
Simplificando,
- x+4+15y-45=0 Longrightarrow x-15y+41=0

Resposta

A equação da reta tangente em (4,3) é
x-15y+41=0

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