Use o Teorema da Unicidade da Fatoração para provar que, se um inteiro positivo
não é a
ésima potência de outro inteiro, então
é irracional. Observe que esse resultado inclui os Problemas 1, 2 e 3 como casos particulares.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dado um inteiro positivo
que não é a
-ésima potência de nenhum outro inteiro, então
é irracional.
O conteúdo principal é o Teorema da Unicidade da Fatoração (ou Teorema Fundamental da Aritmética), que diz que todo inteiro se escreve de maneira única (até ordem) como produto de potências de primos. Também vamos usar a definição de número racional e a ideia de levar a uma contradição envolvendo expoentes de primos.
O conteúdo principal é o Teorema da Unicidade da Fatoração (ou Teorema Fundamental da Aritmética), que diz que todo inteiro
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então existem inteiros positivos
e
, com
, tais que
Passo 3
Elevando os dois lados à
-ésima potência, obtemos
Passo 4
Pelo Teorema da Unicidade da Fatoração, escrevamos as fatorações em primos:
onde cada produto varia sobre todos os primos
e
são expoentes não negativos, quase todos nulos.
Na igualdade o expoente de cada primo
satisfaz
Na igualdade
Passo 5
Como
não é uma
-ésima potência, existe pelo menos um primo
tal que
não é múltiplo de
. Mas a equação
implica que
, logo
. Isso contradiz a escolha de
.
Passo 6
A contradição mostra que a hipótese “
é racional” é falsa. Portanto
é irracional.
Resposta
Portanto, se
não é a
-ésima potência de nenhum inteiro, então
é irracional.