Use o Teorema da Unicidade da Fatoração para provar que, se um inteiro positivo m não é a n ésima potência de outro inteiro, então √[n]m é irracional. Observe que esse resultado inclui os Problemas 1, 2 e 3 como casos particulares.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado um inteiro positivo m que não é a n-ésima potência de nenhum outro inteiro, então
raiz[n]m
é irracional.
O conteúdo principal é o Teorema da Unicidade da Fatoração (ou Teorema Fundamental da Aritmética), que diz que todo inteiro >1 se escreve de maneira única (até ordem) como produto de potências de primos. Também vamos usar a definição de número racional e a ideia de levar a uma contradição envolvendo expoentes de primos.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que raiz[n]m seja racional. Então existem inteiros positivos a e b, com gcd(a,b)=1, tais que
raiz[n]m = ab

Passo 3

Elevando os dois lados à n-ésima potência, obtemos
m = gl(abgr)^n Longrightarrow m,b^n = a^n

Passo 4

Pelo Teorema da Unicidade da Fatoração, escrevamos as fatorações em primos:
m = prodp p^ep, a = prodp p^gp, b = prodp p^fp,
onde cada produto varia sobre todos os primos p e ep,gp,fp são expoentes não negativos, quase todos nulos.
Na igualdade m,b^n=a^n o expoente de cada primo p satisfaz
ep + n,fp = n,gp

Passo 5

Como m não é uma n-ésima potência, existe pelo menos um primo q tal que eq não é múltiplo de n. Mas a equação
eq + n,fq = n,gq
implica que eq = n,(gq - fq), logo nmid eq. Isso contradiz a escolha de q.

Passo 6

A contradição mostra que a hipótese “ raiz[n]m é racional” é falsa. Portanto
raiz[n]m
é irracional.

Resposta

Portanto, se m não é a n-ésima potência de nenhum inteiro, então raiz[n]m é irracional.

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