Use o teste da derivada segunda para determinar os máximos e mínimos relativos da função.
f(x)=x+\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da derivada segunda na função
f(x)=x+\frac{1}{x}
ou seja, precisamos calcular a primeira derivada f'(x) para encontrar pontos críticos, depois a segunda derivada f''(x) para verificar a concavidade nesses pontos e decidir se são máximos ou mínimos relativos.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando regra de potência e cadeia:
f'(x)=1 - \frac{1}{x^2}.
Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{1}{x^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x^2=1
Logo, os pontos críticos são x=1 e x=-1.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada para aplicar o teste da derivada segunda:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(1 - x^{-2}\Bigr) =0 + 2x^{-3} =\frac{2}{x^3}.

Passo 4

Avaliamo-s f''(x) em cada ponto crítico:
f''(1)=\frac{2}{1^3}=2>0 \quad\Longrightarrow\quad \text{concavidade para cima em }x=1 \;\Rightarrow\;\text{mínimo relativo},í
f''(-1)=\frac{2}{(-1)^3}=-2<0 \quad\Longrightarrow\quad \text{concavidade para baixo em }x=-1 \;\Rightarrow\;\text{máximo relativo}.á

Resposta

No ponto x=1 ocorre um mínimo relativo com
f(1)=1 + 1 = 2,
e no ponto x=-1 ocorre um máximo relativo com
f(-1)=-1 + (-1) = -2.

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