Utilizando a fórmula de Leibniz, achar y^{(n)}, se:
y=x e^{x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n de y=x\,e^x usando a fórmula de Leibniz para produto de funções. Vamos chamar
u(x)=x, \quad v(x)=e^x
e aplicar a regra geral de derivação de um produto.

Passo 2

A fórmula de Leibniz diz que
y^{(n)} =\bigl(u\,v\bigr)^{(n)} =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,u^{(k)}(x)\,v^{(n-k)}(x).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de u e v:
u^{(0)}(x)=x,\quad u^{(1)}(x)=1,\quad u^{(k)}(x)=0\;\text{para }k\ge2,
v^{(m)}(x)=\frac{d^m}{dx^m}e^x=e^x\quad\text{para todo }m\ge0.

Passo 4

Substituindo na soma de Leibniz, só os termos k=0 e k=1 sobrevivem:
y^{(n)} =\binom{n}{0}u^{(0)}v^{(n)}+\binom{n}{1}u^{(1)}v^{(n-1)} =x\,e^x + n\cdot1\cdot e^x =(x+n)e^x.

Resposta

y^{(n)}=(x+n)e^x.

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