Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique e resolva os seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear com três incógnitas
2x - y + z = 4, x + 2y + z = 1, x + y + 2z = 3,
e pede classificação via Teorema de Rouché-Capelli e, em seguida, a resolução. Vamos precisar montar a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada tilde A, verificar seus postos (ranks) e então resolver por eliminação de Gauss.
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes e a matriz aumentada:
Como det(A)neq0, temos rank(A)=3. A inclusão da coluna de termos independentes não altera o posto, logo rank(tilde A)=3. Como o número de incógnitas também é 3, pelo Teorema de Rouché-Capelli o sistema é possível e determinado, tendo solução única.
Passo 4
Para encontrar a solução, usamos eliminação. Da segunda equação isolamos
x = 1 - 2y - z
Substituindo em (1) 2x - y + z = 4 e em (3) x + y + 2z = 3, obtemos:
2(1-2y-z)-y+z=4 ;Longrightarrow;-5y - z = 2 ;Longrightarrow;5y + z = -2,
(1-2y-z)+y+2z=3 ;Longrightarrow;-y+z = 2 ;Longrightarrow;y - z = -2
x = 1 - 2y - z =1 - 2l(-tfrac23r) - tfrac43 =1 + tfrac43 - tfrac43 =1
Resposta
O sistema é possível e determinado, com solução única
(x,y,z) = l(1,,-tfrac23,,tfrac43r)
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 438.a