Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique e resolva os seguintes sistemas:
2 x-y+z & =4 x+2 y+z & =1 x+y+2 z & =3

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com três incógnitas
2x - y + z = 4, x + 2y + z = 1, x + y + 2z = 3,
e pede classificação via Teorema de Rouché-Capelli e, em seguida, a resolução. Vamos precisar montar a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada tilde A, verificar seus postos (ranks) e então resolver por eliminação de Gauss.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes e a matriz aumentada:
A = 2 & -1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 , tilde A = 2 & -1 & 1 & 4 1 & 2 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 3
Como A é quadrada de ordem 3, basta calcular seu determinante:
det(A) =22&11&2 -(-1)1&11&2 +11&21&1 =2(4-1)+1(2-1)+1(1-2)=6+1-1=6neq0

Passo 3

Como det(A)neq0, temos rank(A)=3. A inclusão da coluna de termos independentes não altera o posto, logo rank(tilde A)=3. Como o número de incógnitas também é 3, pelo Teorema de Rouché-Capelli o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

Passo 4

Para encontrar a solução, usamos eliminação. Da segunda equação isolamos
x = 1 - 2y - z
Substituindo em (1) 2x - y + z = 4 e em (3) x + y + 2z = 3, obtemos:
2(1-2y-z)-y+z=4 ;Longrightarrow;-5y - z = 2 ;Longrightarrow;5y + z = -2,
(1-2y-z)+y+2z=3 ;Longrightarrow;-y+z = 2 ;Longrightarrow;y - z = -2

Passo 5

Do sistema
5y + z = -2, y - z = -2,
temos z = y + 2. Substituindo em 5y + z = -2:
5y + (y+2) = -2 ;Longrightarrow;6y = -4 ;Longrightarrow;y = -tfrac23, z = -tfrac23+2 = tfrac43
E então
x = 1 - 2y - z =1 - 2l(-tfrac23r) - tfrac43 =1 + tfrac43 - tfrac43 =1

Resposta

O sistema é possível e determinado, com solução única
(x,y,z) = l(1,,-tfrac23,,tfrac43r)

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