-x + 2y + kz = 1, kx + 4y -4z = 2, 2x + y + z = -2k
em função de k, determinando quando ele é indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). O conteúdo principal é Álgebra Linear: vamos usar o determinante da matriz de coeficientes para achar os valores singulares de k e, nesses casos, analisar a consistência pelo posto da matriz aumentada.
Passo 2
Monte a matriz de coeficientes
A= -1 & 2 & k k & 4 & -4 2 & 1 & 1
e calcule
det(A) = -1 & 2 & k k & 4 & -4 2 & 1 & 1 =-1cdot(4cdot1-(-4)cdot1);-;2cdot(kcdot1-(-4)cdot2);+;kcdot(kcdot1-4cdot2)
Logo, para kneq12 e kneq-2 o sistema tem solução única. Sobram os casos k=12 e k=-2.
Passo 3
Caso , a matriz aumentada fica
Fazendo eliminação de Gauss obtemos, após pivoteamento na primeira linha e operações nas demais, numa linha uma equação da forma
o que é absurdo. Portanto o posto da matriz aumentada é maior que o posto de e o sistema é impossível quando .
Passo 4
Caso , a matriz aumentada é
Eliminando de modo similar, verifica-se que sobra um sistema com duas equações independentes em três incógnitas, sem contradição (uma linha vira tudo zero igual a zero). Então o posto de e o da aumentada são iguais a , menor que o número de incógnitas , e o sistema tem infinitas soluções.
Resposta
a) indeterminado para k=-2.
b) impossível para k=12.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 441