Utilize a transformada de Laplace e a Tabela 6.1 para resolver a equação integral
y(t)=1-\int_{0}^{t} \frac{y(\tau)}{\sqrt{t-\tau}} d \tau

Passo 1

O enunciado dá a equação integral de Volterra
y(t)=1-\int_{0}^{t}\frac{y(\tau)}{\sqrt{\,t-\tau\,}}\,d\tau
e pede para usar transformada de Laplace (e a Tabela 6.1) para achar y(t).
Conteúdos necessários: propriedade da transformada de Laplace de convolução e tabelas de transformadas como
\mathcal{L}\{t^{\alpha-1}\}(s)=\frac{\Gamma(\alpha)}{s^\alpha},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac1{s^{1/2}+a}\Bigr\}(t) =\frac{t^{-1/2}}{\sqrt\pi}-a\,e^{a^2t}\erfc\bigl(a\sqrt t\bigr).

Passo 2

Identificamos a parte integral como convolução
\int_{0}^{t}\frac{y(\tau)}{\sqrt{t-\tau}}\,d\tau =(y*k)(t),\quad k(t)=t^{-1/2}.
Aplicando Laplace em ambos os lados de
\displaystyle y(t)=1-(y*k)(t), usamos
\mathcal{L}\{y\}=Y(s) e
\mathcal{L}\{k\}(s)=\Gamma(\tfrac12)s^{-1/2}=\sqrt\pi\,s^{-1/2}.

Passo 3

A transformada dá
Y(s)=\frac{1}{s}-Y(s)\,\sqrt\pi\,s^{-1/2} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\Bigl(1+\sqrt\pi\,s^{-1/2}\Bigr)=\frac1s.
Logo
Y(s) =\frac{1}{s\bigl(1+\sqrt\pi\,s^{-1/2}\bigr)} =\frac{s^{-1/2}}{s^{1/2}+\sqrt\pi}.

Passo 4

Escrevemos
Y(s) =\frac{s^{-1/2}}{s^{1/2}+\sqrt\pi} =\frac{1}{\sqrt\pi}\Bigl(\frac1{s^{1/2}}-\frac1{s^{1/2}+\sqrt\pi}\Bigr).

Passo 5

Agora inverter cada parte pelo tabela:
\mathcal{L}^{-1}\{s^{-1/2}\}(t)=\frac{t^{-1/2}}{\sqrt\pi}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac1{s^{1/2}+\sqrt\pi}\Bigr\}(t) =\frac{t^{-1/2}}{\sqrt\pi}-\sqrt\pi\,e^{\pi t}\erfc\bigl(\sqrt\pi\,\sqrt t\bigr).
Substituindo em
\displaystyle y(t)=\frac1{\sqrt\pi}\bigl[\mathcal{L}^{-1}\{s^{-1/2}\} -\mathcal{L}^{-1}\{(s^{1/2}+\sqrt\pi)^{-1}\}\bigr]
cancelam os termos em t^{-1/2}/\sqrt\pi e resta
y(t)=e^{\pi t}\,\erfc\bigl(\sqrt\pi\,\sqrt t\bigr).

Resposta

y(t)=e^{\pi t}\,\erfc\bigl(\sqrt\pi\,t^{1/2}\bigr).

Exercícios de Livros Relacionados