VALOR ATUAL DE UMA FRANQUIA A administração de uma cadeia nacional de pizzarias está oferecendo uma franquia de 10 anos para uma filial em Fortaleza. A experiência em locais semelhantes sugere que daqui a t anos a loja estará gerando lucro à taxa de f(t)=100.000 reais por ano. A taxa de juros deverá permanecer fixa durante os próximos seis anos em 4% capitalizados continuamente. Qual é o valor atual da franquia?

Passo 1

O enunciado oferece uma franquia de 10 anos cuja filial vai gerar lucro contínuo à taxa
f(t)=100000
reais por ano, para t em anos. A taxa de juros contínua é 4\% ao ano (isto é, r=0,04) e vale para os próximos 6 anos. Queremos o valor presente dos lucros desses 6 anos usando capitalização contínua.

Passo 2

O valor presente V de um fluxo contínuo f(t) de t=0 até t=T com taxa contínua r é dado por
V = \int_{0}^{T} f(t)\,e^{-r t}\,dt.

Passo 3

Aqui T=6, f(t)=100000 (constante) e r=0,04. Então
V = 100000 \int_{0}^{6} e^{-0,04\,t}\,dt.
Usando
\int_{0}^{6} e^{-0,04\,t}\,dt = \Bigl[-\frac{1}{0,04}e^{-0,04\,t}\Bigr]_{0}^{6} = \frac{1 - e^{-0,24}}{0,04},
obtemos
V = 100000 \;\frac{1 - e^{-0,24}}{0,04}.

Passo 4

Calculando numericamente:
e^{-0,24}\approx0,78663 \quad\Longrightarrow\quad 1 - e^{-0,24}\approx0,21337,
\frac{0,21337}{0,04}\approx5,3343 \quad\Longrightarrow\quad V\approx100000\times5,3343=533430.

Resposta

O valor atual da franquia, considerando os próximos 6 anos de lucros descontados continuamente a 4\%, é aproximadamente R$ 533430,00.

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