VENDAS A VAREJO Uma loja de tintas vende duas marcas de tinta látex. Os dados de vendas mostram que, se as latas da primeira marca forem vendidas por x_{1} reais e as latas da segunda por x_{2} reais, a demanda da primeira marca será D_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)=200-10 x_{1}+20 x_{2} latas por mês, e a demanda da segunda marca será D_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)=100+5 x_{1}-10 x_{2} latas por mês.
a. Expresse a receita total da loja com a venda de tinta látex em função dos preços x_{1} e x_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções de demanda mensais em latas para as marcas 1 e 2, dependendo dos preços x_{1} e x_{2}:
D_{1}(x_{1},x_{2}) = 200 - 10x_{1} + 20x_{2},
D_{2}(x_{1},x_{2}) = 100 + 5x_{1} - 10x_{2}.
Queremos encontrar a receita total R(x_{1},x_{2}), que em geral é preço multiplicado pela quantidade vendida, somando as duas marcas.

Passo 2

A receita da marca 1 é x_{1} vezes D_{1}(x_{1},x_{2}) e a da marca 2 é x_{2} vezes D_{2}(x_{1},x_{2}). Logo,
R(x_{1},x_{2}) = x_{1}D_{1}(x_{1},x_{2}) + x_{2}D_{2}(x_{1},x_{2}).
Substituindo as demandas,
R(x_{1},x_{2}) = x_{1}\bigl(200 - 10x_{1} + 20x_{2}\bigr) + x_{2}\bigl(100 + 5x_{1} - 10x_{2}\bigr).

Resposta

R(x_{1},x_{2}) = 200x_{1} - 10x_{1}^{2} + 20x_{1}x_{2} + 100x_{2} + 5x_{1}x_{2} - 10x_{2}^{2}
ou, agrupando termos semelhantes,
R(x_{1},x_{2}) = -10x_{1}^{2} + 25x_{1}x_{2} - 10x_{2}^{2} + 200x_{1} + 100x_{2}.

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