O que é verdade sobre f^{\prime} em um ponto interior onde existe um extremo local? Como esse fato conduz a um procedimento para determinar os extremos locais de uma função?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a propriedade de \,f'\, num ponto interior c onde existe um extremo local de f e como usar esse fato para achar tais extremos. O conteúdo é o Teorema de Fermat e o procedimento de pontos críticos para determinar máximos e mínimos locais.

Passo 2

Teorema de Fermat: se f tem um extremo local em c e f' existe em c, então
f'\text{(c)}=0.
Intuitivamente, num máximo ou mínimo interior a tangente à curva é horizontal, logo a derivada (inclinação) deve zerar. Se houvesse f'\text{(c)}>0 ou f'\text{(c)}<0, a função cresceria ou decresceria ali, contradizendo o caráter de extremo.

Passo 3

Isso leva ao conceito de ponto crítico: qualquer x no domínio de f em que
f'(x)=0\quad\text{ou}\quad f'(x)\text{ não existe}ã
é candidato a extremo local.

Passo 4

Procedimento para determinar extremos locais de f:
1. Determinar o domínio de f.
2. Calcular a derivada f'(x).
3. Encontrar todos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e identificando onde f' não existe.
4. Classificar cada ponto crítico usando:
– o teste da primeira derivada (verificar mudança de sinal de f'),
– ou o teste da segunda derivada: se f''\text{(c)}>0 é mínimo, se f''\text{(c)}<0 é máximo, se f''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.
5. Se o domínio for um intervalo fechado, comparar também os valores de f nos extremos desse intervalo.

Resposta

Em um ponto interior de extremo local, se f' existe então \,f'\text{(c)}=0. Por isso, para achar extremos locais calcula-se f', identifica-se todos os pontos críticos ( f'(x)=0 ou f' indefinida) e depois aplica-se o teste de primeira ou segunda derivada para classificar máximos e mínimos.

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