O que é verdade sobre
em um ponto interior onde existe um extremo local? Como esse fato conduz a um procedimento para determinar os extremos locais de uma função?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a propriedade de
num ponto interior
onde existe um extremo local de
e como usar esse fato para achar tais extremos. O conteúdo é o Teorema de Fermat e o procedimento de pontos críticos para determinar máximos e mínimos locais.
Passo 2
Teorema de Fermat: se
tem um extremo local em
e
existe em
, então
Intuitivamente, num máximo ou mínimo interior a tangente à curva é horizontal, logo a derivada (inclinação) deve zerar. Se houvesse
ou
, a função cresceria ou decresceria ali, contradizendo o caráter de extremo.
Passo 3
Isso leva ao conceito de ponto crítico: qualquer
no domínio de
em que
é candidato a extremo local.
Passo 4
Procedimento para determinar extremos locais de
:
1. Determinar o domínio de .
2. Calcular a derivada .
3. Encontrar todos os pontos críticos resolvendo e identificando onde
não existe.
4. Classificar cada ponto crítico usando:
– o teste da primeira derivada (verificar mudança de sinal de ),
– ou o teste da segunda derivada: se é mínimo, se
é máximo, se
o teste é inconclusivo.
5. Se o domínio for um intervalo fechado, comparar também os valores de nos extremos desse intervalo.
1. Determinar o domínio de
2. Calcular a derivada
3. Encontrar todos os pontos críticos resolvendo
4. Classificar cada ponto crítico usando:
– o teste da primeira derivada (verificar mudança de sinal de
– ou o teste da segunda derivada: se
5. Se o domínio for um intervalo fechado, comparar também os valores de
Resposta
Em um ponto interior de extremo local, se
existe então
. Por isso, para achar extremos locais calcula-se
, identifica-se todos os pontos críticos (
ou
indefinida) e depois aplica-se o teste de primeira ou segunda derivada para classificar máximos e mínimos.