Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral cos ^2 x d x=12 x+12 sen x cos x+C

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar a fórmula de integração
integral cos^2 x,dx = tfrac12 x + tfrac12 sin xcos x + C
ou seja, mostrar como obtê-la e depois confirmar por derivação. Vamos usar integração por partes e a identidade trigonométrica sin^2x=1-cos^2x.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = cos x, dv = cos x,dx
Então
du = -sin x,dx, v = integral cos x,dx = sin x
Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, vem
integral cos^2 x,dx = cos xsin x - integral sin x,(-sin x),dx = sin xcos x + integral sin^2 x,dx

Passo 3

Use a identidade sin^2x=1-cos^2x para escrever
integral sin^2 x,dx = integral (1-cos^2 x),dx = x - integral cos^2 x,dx
Substituindo de volta em integral cos^2 x,dx, obtemos
integral cos^2 x,dx = sin xcos x + l(x - integral cos^2 x,dxr)
2integral cos^2 x,dx = x + sin xcos x Longrightarrow integral cos^2 x,dx = tfrac12 x + tfrac12 sin xcos x + C

Passo 4

Para verificar, derivamos
F(x)=tfrac12 x + tfrac12sin xcos x
Temos
F'(x)=tfrac12 + tfrac12l(cos^2 x - sin^2 xr) =tfrac12l(1+cos2xr) =cos^2 x,
o que confirma que F'(x)=cos^2 x.

Resposta

boxedintegral cos^2 x,dx = tfrac12 x + tfrac12 sin xcos x + C

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