Achar y^prime e y^prime prime se
y=t-t^3, x=e^t.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica x = e^t e y = t - t^3 e pede as derivadas de y em relação a x, ou seja y' e y''. Vamos usar a técnica de diferenciação paramétrica, que diz que
y' = dy/dtdx/dt,
e
y'' = ddx(y') = d(y')/dtdx/dt

Passo 2

Calcular dydt e dxdt.
dydt = 1 - 3t^2, dxdt = e^t

Passo 3

Aplicar a fórmula de y'. Logo,
y' = dydtdxdt = 1 - 3t^2e^t

Passo 4

Para y'', primeiro derivamos y' em relação a t. Escrevendo
y' = (1 - 3t^2),e^-t,
temos
d(y')dt = ddtl(1 - 3t^2r),e^-t + (1 - 3t^2),ddtl(e^-tr) = (-6t)e^-t + (1 - 3t^2)(-e^-t) = e^-t(3t^2 - 6t - 1)

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de y'':
y'' = d(y')dtdxdt = e^-t(3t^2 - 6t - 1)e^t = e^-2t(3t^2 - 6t - 1)

Resposta

y' = 1 - 3t^2e^t, y'' = e^-2tl(3t^2 - 6t - 1r)

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