Calcular a área entre as curvas:
y=x^3 e y=x^1 / 3.

Passo 1

Beleza! A gente quer a área que fica entre as curvas y = x^3 e y = x^1/3. Para isso, vamos usar integrais definidas: primeiro achamos os pontos de interseção resolvendo x^3 = x^1/3, depois determinamos qual curva está por cima em cada intervalo e, por fim, integramos a diferença entre elas.

Passo 2

Resolvendo a equação de interseção
x^3 = x^1/3
podemos reescrever como
x^3 - x^1/3 = 0 Longrightarrow x^1/3l(x^8/3-1r)=0
Logo as soluções são
x = 0, x^8/3=1implies x=pm1
Então as curvas se cruzam em x=-1,,0,,1.

Passo 3

Agora a gente testa quem fica por cima em cada intervalo:
  • Em [-1,0], por exemplo em x=-0,5, temos x^3=-0,125 e x^1/3approx-0,7937. Como -0,125>-0,7937, a curva y=x^3 está acima de y=x^1/3.
  • Em [0,1], por exemplo em x=0,5, temos x^3=0,125 e x^1/3approx0,7937. Agora 0,7937>0,125, então y=x^1/3 fica por cima de y=x^3.

Passo 4

A área total é a soma de duas integrais:
Área = integral-1^0l(x^3 - x^1/3r),dx ;+;integral0^1l(x^1/3 - x^3r),dx Á

Passo 5

Calculemos a primeira integral. Uma antiderivada comum é
integrall(x^3 - x^1/3r),dx = x^44 ;-;34,x^4/3
Avaliando de -1 a 0:
[x^44 - 34x^4/3]-1^0 = l(0 - 0r);-;l(tfrac14-tfrac34r) = -l(-tfrac12r) = tfrac12

Passo 6

Para a segunda integral, usamos a antiderivada
integrall(x^1/3-x^3r),dx = 34,x^4/3 ;-;x^44
Avaliando de 0 a 1:
[34x^4/3 - x^44]0^1 = l(tfrac34-tfrac14r) - 0 = tfrac12
Somando as duas partes, a área total é
tfrac12 + tfrac12 = 1

Resposta

A área entre as curvas é 1.

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