Traçar o gráfico das curvas:
x^2-2 y^2+x-y+5=0

Passo 1

O enunciado pede para traçar o gráfico da curva de segunda ordem dada por
x^2-2y^2+x-y+5=0
Isso é uma cônica sem termo xy, logo com eixos alinhados aos eixos coordenados. Para esboçar, vamos completar quadrados, colocar em forma canônica, identificar o tipo de cônica, centro, vértices e assíntotas.

Passo 2

Reescrevemos agrupando x e y:
x^2+x ;-;2l(y^2+tfrac12yr);+;5;=;0
Agora completamos o quadrado em x e em y:
x^2+x=(x+tfrac12)^2-tfrac14, y^2+tfrac12y=(y+tfrac14)^2-tfrac116
Substituindo na equação:
(x+tfrac12)^2-tfrac14 ;-;2l[(y+tfrac14)^2-tfrac116r] ;+;5 ;=;0

Passo 3

Distribuindo e somando constantes:
onde / / / ). Logo
Dividindo por / ) obtemos a forma canônica

Passo 4

Dessa forma vemos que é uma hipérbole centrada em
l(h,kr)=l(-tfrac12,,-tfrac14r)
Como o sinal positivo ficou no termo com (y+tfrac14)^2, o eixo transverso é vertical. Definimos
a^2=3916, b^2=398, a=raiz394, b=raiz398

Passo 5

Os vértices são os pontos em que x=-tfrac12 e (y+tfrac14)^2= a^2, ou seja
y+tfrac14=pm a Longrightarrow y=-tfrac14pmraiz394

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole nessa forma são dadas por zerar o lado direito da canônica:
(y+tfrac14)^239/16 -(x+tfrac12)^239/8 =0 ;Longrightarrow; (y+tfrac14)^2(x+tfrac12)^2 =39/1639/8 =tfrac12
Logo
y+tfrac14 =pm1raiz2,(x+tfrac12)

Resposta

A curva é uma hipérbole centrada em l(-tfrac12,-tfrac14r), com eixos paralelos aos eixos coordenados, vértices em
l(-tfrac12,,-tfrac14pmraiz394r)
e assíntotas
y+tfrac14 =pm1raiz2,l(x+tfrac12r)

Exercícios de Livros Relacionados