Determinar os seguintes limites:
lim x infty log log x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyloglog x
O conteúdo aqui é limite de funções compostas e vamos usar que a função log x cresce sem limite quando xtoinfty.

Passo 2

Primeiro lembramos que
limxtoinftylog x = +infty,
pois para qualquer número grande M>0 basta tomar x>e^M para garantir log x>M. Logo log x “explode” para +infty.

Passo 3

Agora façamos a substituição intermediária
y = log x
Quando xtoinfty, temos ytoinfty. Portanto
loglog x = log y,
e calcular limytoinftylog y é o mesmo que o passo anterior: diverge para +infty.

Passo 4

Para ver de modo mais formal, tome qualquer M>0. Queremos achar X tal que, sempre que x>X, então loglog x > M.
loglog x > M Long<=ftrightarrow log x > e^M Long<=ftrightarrow x > e^,e^M
Basta escolher X = e^,e^M. Isso mostra que loglog x cresce além de qualquer limite M.

Resposta

limxtoinftyloglog x = +infty

Exercícios de Livros Relacionados