Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral cosec x d x=log |tg x2|+C [ Sugestầo: tomait t=tg x2: Möstrar que cos x=1-t^21+t^2 ; sen x=2 t1+t^2 ; d x=2 d t1+t^2].)

Passo 1

Vamos verificar a fórmula
integral csc x,dx = lnl|tanx2r| + C
usando a substituição de Weierstrass t = tanx2. Para isso precisamos expressar sin x, cos x e dx em função de t e dt.

Passo 2

Fazendo t = tanx2, sabemos das identidades de Weierstrass que
sin x = 2t1+t^2, cos x = 1 - t^21 + t^2, dx = 2,dt1+t^2

Passo 3

Com isso
csc x = 1sin x = 1+t^22t
e portanto
csc x,dx = 1+t^22t,2,dt1+t^2 = dtt

Passo 4

Integrando em t:
integral csc x,dx = integral dtt = lnl|tr| + C = lnl|tanx2r| + C

Passo 5

Para conferir, derivamos
ddxlnl|tanx2r| = 1tan(x/2)cdotddxl(tanx2r) = 1tan(x/2)cdot12sec^2!x2 = sec^2(x/2)2tan(x/2)
Como sec^2(x/2)=1/cos^2(x/2) e tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2), obtemos
sec^2(x/2)2tan(x/2) = 12sin(x/2)cos(x/2) = 1sin x = csc x,
confirmando a fórmula.

Resposta

integral csc x,dx = lnl|tanx2r| + C

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