Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação. Sugestầo: tomait t=tg x2: Möstrar que cos x=1-t^21+t^2 ; sen x=2 t1+t^2 ; d x=2 d t1+t^2].)
Passo 1
Vamos verificar a fórmula
integral csc x,dx = lnl|tanx2r| + C
usando a substituição de Weierstrass t = tanx2. Para isso precisamos expressar sin x, cos x e dx em função de t e dt.
Passo 2
Fazendo t = tanx2, sabemos das identidades de Weierstrass que
sin x = 2t1+t^2, cos x = 1 - t^21 + t^2, dx = 2,dt1+t^2
Passo 3
Com isso
csc x = 1sin x = 1+t^22t
e portanto
csc x,dx = 1+t^22t,2,dt1+t^2 = dtt
Passo 4
Integrando em t:
integral csc x,dx = integral dtt = lnl|tr| + C = lnl|tanx2r| + C