Verifique que, quando é ímpar,
Sugestão:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando n é ímpar, a soma dos coeficientes binomiais de índices pares até n-1 vale
2^n-1 = binomn0 + binomn2 + binomn4 + cdots + binomnn-1
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Binômio e a aplicação das expansões de (1+1)^n e (1-1)^n.

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio, temos
(1+1)^n = sumk=0^n binomnk 1^,n-k1^k = sumk=0^n binomnk = 2^n

Passo 3

Também pelo Teorema do Binômio,
(1-1)^n = sumk=0^n binomnk1^,n-k(-1)^k = sumk=0^n (-1)^kbinomnk
Como n é ímpar, (1-1)^n = 0. Logo,
sumk=0^n (-1)^kbinomnk = 0

Passo 4

Separamos as somas em termos com k par e k ímpar:
sumk=0^n binomnk ;+;sumk=0^n (-1)^kbinomnk ;=;2^n + 0
No lado esquerdo, coeficientes com k par aparecem com sinal +1 em ambas as somas, e os de k ímpar cancelam. Logo obtemos
2l(binomn0+binomn2+cdots+binomnn-1r) ;=; 2^n
Dividindo ambos os lados por 2, concluímos
binomn0+binomn2+cdots+binomnn-1 = 2^n-1

Resposta

2^n-1 = binomn0 + binomn2 + binomn4 + cdots + binomnn-1

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