Verifique que, quando
é ímpar,
Sugestão:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando
é ímpar, a soma dos coeficientes binomiais de índices pares até
vale
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Binômio e a aplicação das expansões de
e
.
Passo 2
Pelo Teorema do Binômio, temos
Passo 3
Também pelo Teorema do Binômio,
Como
é ímpar,
. Logo,
Passo 4
Separamos as somas em termos com
par e
ímpar:
No lado esquerdo, coeficientes com
par aparecem com sinal
em ambas as somas, e os de
ímpar cancelam. Logo obtemos
Dividindo ambos os lados por
, concluímos