Verifique que y=e^x^2 é uma solução da equação diferencial y^prime prime-2 x y^prime-2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
y = e^x^2
satisfaz a equação diferencial
y'' - 2x,y' - 2y = 0
Para isso, vamos usar as regras de derivação da função exponencial e a regra da cadeia.

Passo 2

Calcular a primeira derivada y'. Como y=e^x^2, aplicando a regra da cadeia:
y' = ddxe^x^2 = e^x^2cdot ddx(x^2) = e^x^2cdot 2x = 2x,e^x^2

Passo 3

Calcular a segunda derivada y''. Derivando y'=2x,e^x^2 usando a regra do produto e novamente a cadeia:
y'' = ddxl(2x,e^x^2r) = 2,e^x^2 + 2xcdot ddxl(e^x^2r) = 2,e^x^2 + 2xcdot (2x,e^x^2) = l(2 + 4x^2r)e^x^2

Passo 4

Substituir y, y' e y'' na equação diferencial:
y'' - 2x,y' - 2y = l(2+4x^2r)e^x^2 -2x,(2x,e^x^2) -2,e^x^2
Agora agrupamos termos semelhantes:
l(2+4x^2r)e^x^2 -4x^2,e^x^2 -2,e^x^2 = l(2e^x^2+4x^2e^x^2-4x^2e^x^2-2e^x^2r) =0

Resposta

De fato, ao substituir y=e^x^2 na equação y''-2x,y'-2y=0, o lado esquerdo torna-se zero, logo y=e^x^2 é solução da equação diferencial.

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