Na véspera de uma eleição, uma estação de rádio é forçada a tocar 20 anúncios de campanhas em sequência. Desses 20 anúncios, 15 são para o candidato do Partido Conservador, e 5 são para o candidato do Partido Trabalhista. Prove que a estação deve tocar, em algum momento, pelo menos três anúncios dos Conservadores em sequência. Use o princípio generalizado do compartimento no pombal para justificar a sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que há uma sequência de 20 anúncios, sendo 15 do Partido Conservador (que chamaremos de C) e 5 do Partido Trabalhista (que chamaremos de T). Precisamos mostrar que nessa sequência aparece em algum ponto três C consecutivos. Vamos usar o princípio generalizado do compartimento (princípio do pombal).

Passo 2

O princípio generalizado do compartimento afirma que, se colocamos N objetos em k caixas, então alguma caixa conterá pelo menos
lceil Nk rceil
objetos.

Passo 3

Coloquemos cada anúncio T como um “divisor” que gera espaços entre eles. Como há 5 anúncios T, eles criam 6 compartimentos para abrigar os 15 anúncios C:
— um compartimento antes do primeiro T,
— quatro compartimentos entre cada par de Ts consecutivos,
— um compartimento após o último T.
Assim, distribuímos N=15 anúncios C em k=6 “caixas” (compartimentos). Pelo princípio do pombal, em alguma caixa teremos pelo menos
lceil 156 rceil = lceil 2,5 rceil = 3
anúncios C.

Passo 4

Um compartimento reúne exatamente aqueles anúncios C que aparecem consecutivamente (pois fica entre dois Ts ou no início/fim da lista). Logo, existe um ponto da sequência em que aparecem pelo menos três C em sequência.

Resposta

Em algum momento a estação tocará pelo menos três anúncios dos Conservadores em sequência.

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