Na véspera de uma eleição, uma estação de rádio é forçada a tocar 20 anúncios de campanhas em sequência. Desses 20 anúncios, 15 são para o candidato do Partido Conservador, e 5 são para o candidato do Partido Trabalhista. Prove que a estação deve tocar, em algum momento, pelo menos três anúncios dos Conservadores em sequência. Use o princípio generalizado do compartimento no pombal para justificar a sua resposta.
Passo 1
O enunciado diz que há uma sequência de 20 anúncios, sendo 15 do Partido Conservador (que chamaremos de
) e 5 do Partido Trabalhista (que chamaremos de
). Precisamos mostrar que nessa sequência aparece em algum ponto três
consecutivos. Vamos usar o princípio generalizado do compartimento (princípio do pombal).
Passo 2
O princípio generalizado do compartimento afirma que, se colocamos
objetos em
caixas, então alguma caixa conterá pelo menos
objetos.
Passo 3
Coloquemos cada anúncio
como um “divisor” que gera espaços entre eles. Como há 5 anúncios
, eles criam 6 compartimentos para abrigar os 15 anúncios
:
— um compartimento antes do primeiro ,
— quatro compartimentos entre cada par de s consecutivos,
— um compartimento após o último .
— um compartimento antes do primeiro
— quatro compartimentos entre cada par de
— um compartimento após o último
Assim, distribuímos
anúncios
em
“caixas” (compartimentos). Pelo princípio do pombal, em alguma caixa teremos pelo menos
anúncios
.
Passo 4
Um compartimento reúne exatamente aqueles anúncios
que aparecem consecutivamente (pois fica entre dois
s ou no início/fim da lista). Logo, existe um ponto da sequência em que aparecem pelo menos três
em sequência.
Resposta
Em algum momento a estação tocará pelo menos três anúncios dos Conservadores em sequência.