Suponha que você tem quatro quadrados de vidro colorido, todos em cores diferentes, e você deseja fazer um vitral quadrado . Quantos vitrais diferentes podem ser feitos? (Cuidado: um quadrado tem mais simetrias do que um retângulo.)
Passo 1
O enunciado diz que temos quatro quadrados de vidro, cada um de uma cor distinta, e queremos montar um vitral . Como o vitral é quadrado, configurações que diferem apenas por rotações ou reflexões do quadrado devem ser consideradas iguais. O conteúdo envolvido é o Lema de Burnside, que calcula o número de colorings distintos sob a ação do grupo de simetrias do quadrado (o grupo diedral , de ordem ).
Passo 2
Listamos os elementos do grupo e a forma como atuam nos quatro quadrantes do vitral. Numeremos as posições assim:
Os elementos são:
Identidade (não troca nada).
Rotação de no sentido horário, , que faz .
Rotação de , , que troca e .
Rotação de , , ciclo inverso de .
Reflexão vertical, , que troca e .
Reflexão horizontal, , que troca e .
Reflexão na diagonal principal, , que troca e fixa .
Reflexão na outra diagonal, , que troca e fixa .
Passo 3
Contamos quantas colorações ficam fixas pela identidade . Como não impõe nenhuma restrição, cada uma das quatro posições pode receber qualquer uma das cores, totalizando
Passo 4
Agora rho90 e rho270. Cada uma forma um único ciclo de tamanho 4 sobre as posições, então para permanecer invariante todas as quatro casas devem ter a mesma cor. Logo,
l|Fix(rho90)r| = l|Fix(rho270)r| = 4
Passo 5
Para rho180 há dois ciclos de tamanho 2: (1,4) e (2,3). Cada par deve ter cores iguais, mas os pares podem escolher cor independentemente, dando
l|Fix(rho180)r| = 4^2 = 16
Passo 6
Reflexões vertical e horizontal também têm dois ciclos de tamanho 2. Por exemplo, em sigmav temos (1,2) e (3,4). Então
l|Fix(sigmav)r| = l|Fix(sigmah)r| = 4^2 = 16
Passo 7
Nas reflexões diagonais sigmad fixamos 1 e 4 e trocamos (2,3), resultando em um ciclo de tamanho 2 e dois de tamanho 1. Assim
l|Fix(sigmad)r| = l|Fix(sigmad')r| = 4^3 = 64
Passo 8
Pela fórmula de Burnside, o número de colorações distintas é a média das colorações fixas pelos 8 simetrias: