Suponha que você tem quatro quadrados de vidro colorido, todos em cores diferentes, e você deseja fazer um vitral quadrado 2 times 2. Quantos vitrais diferentes podem ser feitos? (Cuidado: um quadrado tem mais simetrias do que um retângulo.)

Passo 1

O enunciado diz que temos quatro quadrados de vidro, cada um de uma cor distinta, e queremos montar um vitral 2times2. Como o vitral é quadrado, configurações que diferem apenas por rotações ou reflexões do quadrado devem ser consideradas iguais. O conteúdo envolvido é o Lema de Burnside, que calcula o número de colorings distintos sob a ação do grupo de simetrias do quadrado (o grupo diedral D4, de ordem 8).

Passo 2

Listamos os elementos do grupo D4 e a forma como atuam nos quatro quadrantes do vitral. Numeremos as posições assim:
1 & 2 3 & 4
Os elementos são:
  1. Identidade e (não troca nada).
  2. Rotação de 90^circ no sentido horário, rho90, que faz (1to2to4to3to1).
  3. Rotação de 180^circ, rho180, que troca 1rightarrow4 e 2rightarrow3.
  4. Rotação de 270^circ, rho270, ciclo inverso de rho90.
  5. Reflexão vertical, sigmav, que troca 1rightarrow2 e 3rightarrow4.
  6. Reflexão horizontal, sigmah, que troca 1rightarrow3 e 2rightarrow4.
  7. Reflexão na diagonal principal, sigmad, que troca 2rightarrow3 e fixa 1,4.
  8. Reflexão na outra diagonal, sigmad', que troca 1rightarrow4 e fixa 2,3.

Passo 3

Contamos quantas colorações ficam fixas pela identidade e. Como não impõe nenhuma restrição, cada uma das quatro posições pode receber qualquer uma das 4 cores, totalizando
l|Fix(e)r| = 4^4 = 256

Passo 4

Agora rho90 e rho270. Cada uma forma um único ciclo de tamanho 4 sobre as posições, então para permanecer invariante todas as quatro casas devem ter a mesma cor. Logo,
l|Fix(rho90)r| = l|Fix(rho270)r| = 4

Passo 5

Para rho180 há dois ciclos de tamanho 2: (1,4) e (2,3). Cada par deve ter cores iguais, mas os pares podem escolher cor independentemente, dando
l|Fix(rho180)r| = 4^2 = 16

Passo 6

Reflexões vertical e horizontal também têm dois ciclos de tamanho 2. Por exemplo, em sigmav temos (1,2) e (3,4). Então
l|Fix(sigmav)r| = l|Fix(sigmah)r| = 4^2 = 16

Passo 7

Nas reflexões diagonais sigmad fixamos 1 e 4 e trocamos (2,3), resultando em um ciclo de tamanho 2 e dois de tamanho 1. Assim
l|Fix(sigmad)r| = l|Fix(sigmad')r| = 4^3 = 64

Passo 8

Pela fórmula de Burnside, o número de colorações distintas é a média das colorações fixas pelos 8 simetrias:
18l(256 + 4 + 16 + 4 + 16 + 16 + 64 + 64r) = 4408 = 55

Resposta

55

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