Como você poderia eventualmente calcular integrais indefinidas por substituição? Exemplifique.
Passo 1
O objetivo é aprender a técnica de substituição para calcular integrais indefinidas. Essa técnica baseia-se em reconhecer uma parte do integrando cuja derivada também aparece multiplicando-o. Para aplicá-la, vamos recorrer à regra da cadeia “ao contrário”, ou seja, buscar uma mudança de variável que torne a integral mais simples.
Passo 2
Suponha que tenhamos uma integral da forma
Escolhemos a substituição
o que implica
Assim, a integral em
se transforma em
mais fácil de resolver. Ao final, voltamos à variável original usando
.
Passo 3
Vamos exemplificar com
Aqui notamos que a parte interna
tem derivada
, que multiplica o
. Então a integral está no formato adequado para substituição.
Passo 4
Definimos
Logo,
A integral de
é
, portanto
Voltando à variável
, obtemos