Como você poderia eventualmente calcular integrais indefinidas por substituição? Exemplifique.

Passo 1

O objetivo é aprender a técnica de substituição para calcular integrais indefinidas. Essa técnica baseia-se em reconhecer uma parte do integrando cuja derivada também aparece multiplicando-o. Para aplicá-la, vamos recorrer à regra da cadeia “ao contrário”, ou seja, buscar uma mudança de variável que torne a integral mais simples.

Passo 2

Suponha que tenhamos uma integral da forma
\int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx.
Escolhemos a substituição
u = g(x),
o que implica
du = g'(x)\,dx.
Assim, a integral em x se transforma em
\int f(u)\,du,
mais fácil de resolver. Ao final, voltamos à variável original usando u = g(x).

Passo 3

Vamos exemplificar com
\int 2x\cos\bigl(x^2\bigr)\,dx.
Aqui notamos que a parte interna x^2 tem derivada 2x, que multiplica o \cos\bigl(x^2\bigr). Então a integral está no formato adequado para substituição.

Passo 4

Definimos
u = x^2, \quad du = 2x\,dx.
Logo,
\int 2x\cos\bigl(x^2\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,du.
A integral de \cos(u) é \sin(u), portanto
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
Voltando à variável x, obtemos
\sin\bigl(x^2\bigr) + C.

Resposta

\int 2x\cos\bigl(x^2\bigr)\,dx = \sin\bigl(x^2\bigr) + C.

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