Se você conhece a aceleração de um corpo que se desloca ao longo das coordenadas em função do tempo, o que mais você precisa saber para determinar a função posição do corpo? Exemplifique.

Passo 1

Resumindo o enunciado: sabemos a aceleração \,a(t)\, de um corpo e queremos determinar a posição x(t). O conteúdo envolvido é cinemática escalar e cálculo de integrais. Para obter x(t) a partir de a(t) precisamos integrar duas vezes, mas cada integração gera uma constante arbitrária que só pode ser fixada por condições iniciais.

Passo 2

Integramos a aceleração para obter a velocidade:
v(t)=\int a(t)\,dt + C_1.
A constante C_1 representa o valor de v(t) num instante de referência t_0.

Passo 3

Integramos a velocidade para obter a posição:
x(t)=\int v(t)\,dt + C_2.
A constante C_2 corresponde à posição no mesmo instante de referência t_0.

Passo 4

Para determinar C_1 e C_2 precisamos das condições iniciais
v(t_0)=v_0 \quad\text{e}\quad x(t_0)=x_0.
Substituindo t=t_0 em
v(t_0)=\int a(t)\,dt\big|_{t_0}+C_1=v_0 \quad\Rightarrow\quad C_1=v_0,
e em
x(t_0)=\int v(t)\,dt\big|_{t_0}+C_2=x_0 \quad\Rightarrow\quad C_2=x_0.

Passo 5

Exemplo: seja a(t)=2t, e tome t_0=0, v(0)=3 e x(0)=5.
Primeira integração:
v(t)=\int 2t\,dt + C_1 = t^2 + C_1,
e como v(0)=3 temos C_1=3, logo v(t)=t^2+3.
Segunda integração:
x(t)=\int (t^2+3)\,dt + C_2 = \frac{t^3}{3} + 3t + C_2,
e como x(0)=5 temos C_2=5, logo
x(t)=\frac{t^3}{3} + 3t + 5.

Resposta

Além de a(t), precisamos das condições iniciais de velocidade e de posição (por exemplo v(t_0)=v_0 e x(t_0)=x_0) para determinar completamente x(t).

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