Como você poderia eventualmente estimar grandezas como distância percorrida, área, volume e valor médio usando somas finitas? Por que você faria isso?
Passo 1
O enunciado pergunta como estimar grandezas contínuas — distância percorrida, área sob uma curva, volume de um corpo e valor médio de uma função — usando somas finitas, e por que esse procedimento é útil. O conteúdo central aqui é o conceito de soma de Riemann (ou aproximação por retângulos/paralelepípedos), que serve de base para o cálculo integral. Para isso, vamos precisar entender particionamento de intervalos, escolha de pontos de amostragem e o limite em que o número de subintervalos cresce.
Passo 2
O método comum é dividir o domínio de interesse em
subintervalos de comprimento
. Em cada subintervalo escolhe-se um ponto
e calcula-se o valor da função
. A soma de Riemann fica
À medida que
e
,
converge ao valor exato da integral
.
Passo 3
Para estimar distância percorrida, suponha que a velocidade seja
num intervalo
. Particionamos
em subintervalos
e aproximamos o deslocamento em cada pedaço por
portanto a soma total
No limite, isso dá
.
Passo 4
Para estimar área sob
entre
e
, usamos retângulos de base
e altura
, de modo que
cujo limite é
.
Passo 5
Para estimar volume de um sólido, podemos particionar o domínio em fatias (por exemplo discos ou paralelepípedos). No caso de revolução em torno do eixo
, cada fatia em
tem volume aproximado
e o volume total é
que converge para
.
Passo 6
Para estimar o valor médio de
em
, definimos
e aproximamos por
Passo 7
Fazemos essas aproximações por somas finitas porque
- Nem sempre existe antiderivada elementar de
. - Muitas vezes só temos valores de
em pontos discretos (dados experimentais). - Computadores trabalham naturalmente com somas e loops finitos.
Assim, as somas de Riemann permitem aproximações numéricas eficientes e controladas.
Resposta
Em todos os casos, particionamos o domínio em
subintervalos de tamanho
(ou
), calculamos valores da função em pontos amostrais
, e somamos produtos do tipo
(ou variantes para discos e deslocamentos). Esse procedimento aproxima a integral definida e é útil quando não há solução analítica, quando os dados são discretos ou em cálculos numéricos por computador.