Como você poderia eventualmente estimar grandezas como distância percorrida, área, volume e valor médio usando somas finitas? Por que você faria isso?

Passo 1

O enunciado pergunta como estimar grandezas contínuas — distância percorrida, área sob uma curva, volume de um corpo e valor médio de uma função — usando somas finitas, e por que esse procedimento é útil. O conteúdo central aqui é o conceito de soma de Riemann (ou aproximação por retângulos/paralelepípedos), que serve de base para o cálculo integral. Para isso, vamos precisar entender particionamento de intervalos, escolha de pontos de amostragem e o limite em que o número de subintervalos cresce.

Passo 2

O método comum é dividir o domínio de interesse em n subintervalos de comprimento \Delta x. Em cada subintervalo escolhe-se um ponto x_i^* e calcula-se o valor da função f(x_i^*). A soma de Riemann fica
S_n \;=\;\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x.
À medida que n\to\infty e \Delta x\to0, S_n converge ao valor exato da integral \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Para estimar distância percorrida, suponha que a velocidade seja v(t) num intervalo [t_0,t_1]. Particionamos [t_0,t_1] em subintervalos \Delta t e aproximamos o deslocamento em cada pedaço por
\Delta s_i \approx v(t_i^*)\,\Delta t,
portanto a soma total
s\approx \sum_{i=1}^n v(t_i^*)\,\Delta t.
No limite, isso dá \displaystyle s=\int_{t_0}^{t_1}v(t)\,\mathrm{d}t.

Passo 4

Para estimar área sob y=f(x) entre x=a e x=b, usamos retângulos de base \Delta x e altura f(x_i^*), de modo que
\text{área}\approx \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x,á
cujo limite é \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Para estimar volume de um sólido, podemos particionar o domínio em fatias (por exemplo discos ou paralelepípedos). No caso de revolução em torno do eixo x, cada fatia em x_i^* tem volume aproximado
\Delta V_i \approx \pi\bigl[f(x_i^*)\bigr]^2\,\Delta x,
e o volume total é
V\approx \sum_{i=1}^n \pi\bigl[f(x_i^*)\bigr]^2\,\Delta x,
que converge para \displaystyle \int_a^b \pi\bigl[f(x)\bigr]^2\,\mathrm{d}x.

Passo 6

Para estimar o valor médio de f em [a,b], definimos
f_{\text{méd}} \;=\;\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}xé
e aproximamos por
f_{\text{méd}}\approx \frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x.é

Passo 7

Fazemos essas aproximações por somas finitas porque
  1. Nem sempre existe antiderivada elementar de f.
  2. Muitas vezes só temos valores de f em pontos discretos (dados experimentais).
  3. Computadores trabalham naturalmente com somas e loops finitos.
    Assim, as somas de Riemann permitem aproximações numéricas eficientes e controladas.

Resposta

Em todos os casos, particionamos o domínio em n subintervalos de tamanho \Delta x (ou \Delta t), calculamos valores da função em pontos amostrais x_i^*, e somamos produtos do tipo f(x_i^*)\,\Delta x (ou variantes para discos e deslocamentos). Esse procedimento aproxima a integral definida e é útil quando não há solução analítica, quando os dados são discretos ou em cálculos numéricos por computador.

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