(UF-PI) O volume de um paralelepípedo reto retângulo é 162 m^3 e suas dimensões são proporcionais a 1, 2 e 3 . A diagonal desse paralelepípedo mede:
a) raiz19 m
b) 3 raiz14 m
c) raiz31 m
d) 5 raiz35 m
e) 2 raiz37 m

Passo 1

O enunciado diz que temos um paralelepípedo reto-retângulo de volume 162 m^3 cujas arestas são proporcionais a 1, 2 e 3. O que precisamos achar é a medida da diagonal, sabendo que se as arestas são a, b e c, então a diagonal d satisfaz
d = raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 2

Como as dimensões são proporcionais a 1, 2 e 3, podemos escrever
a = k, b = 2k, c = 3k
para algum k>0. O volume é dado por
V = acdot bcdot c = k cdot (2k)cdot(3k) = 6k^3
Como V=162, temos
6k^3 = 162

Passo 3

Isolando k^3,
k^3 = 1626 = 27
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k = raiz[3]27 = 3

Passo 4

As arestas valem
a = 3, b = 6, c = 9
(em metros). A diagonal é
d = raiz3^2 + 6^2 + 9^2 = raiz9 + 36 + 81 = raiz126 = raiz9cdot14 = 3raiz14

Resposta

b) 3raiz14,m

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