Se g(f(x))=x^2+13 x+42 e g(x)=x^2-x, determine o termo independente de x na expressão de f(x), sabendo que f(x) é um polinômio com coeficientes positivos.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
g(x) = x^2 - x
e a composição
gl(f(x)r) = x^2 + 13x + 42,
e pede o termo independente de f(x), sabendo que f(x) é um polinômio com coeficientes positivos. O conteúdo aqui é resolver a equação
(f(x))^2 - f(x) = x^2 + 13x + 42
para encontrar f(x).

Passo 2

Escrevemos explicitamente a composição usando g(x)=x^2 - x:
gl(f(x)r) = l(f(x)r)^2 - f(x)
Como isso deve ser igual a x^2 + 13x + 42, temos a equação em f(x):
l(f(x)r)^2 - f(x) - l(x^2 + 13x + 42r) = 0

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver
l(f(x)r)^2 - f(x) - l(x^2 + 13x + 42r)=0
O coeficiente a=1, b=-1 e c=-(x^2+13x+42), logo
f(x) = 1 pm raiz(-1)^2 - 4cdot1cdotl[-(x^2+13x+42)r]2cdot1 = 1 pm raiz1 + 4(x^2+13x+42)2

Passo 4

Dentro da raiz temos
1 + 4(x^2+13x+42) = 4x^2 + 52x + 169 = (2x+13)^2
Então
f(x) = 1 pm (2x+13)2
Isso gera duas soluções:
f1(x) = 1 + (2x+13)2 = x + 7,
f2(x) = 1 - (2x+13)2 = -x - 6

Passo 5

Como f(x) deve ser um polinômio com coeficientes positivos, descartamos f2(x) e ficamos com
f(x) = x + 7
Dessa forma, o termo independente de f(x) é 7.

Resposta

O termo independente de f(x) é 7.

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