A função
:
é dada por
.
a) Determine o domínio de
, isto é,
tal que existe
.
b) Determine a imagem de
, isto é,
.
c) A função
é injetora? Por quê?
d) Trace o gráfico da função
.
a) Determine o domínio de
b) Determine a imagem de
c) A função
d) Trace o gráfico da função
Passo 1
O enunciado define a função
por
e pede:
determinar o domínio , a imagem
, verificar se
é injetora e traçar o gráfico de
.
O conteúdo envolve condições de existência de raízes, análise de extremos, definição de injetividade e interpretação geométrica de curvas.
determinar o domínio
O conteúdo envolve condições de existência de raízes, análise de extremos, definição de injetividade e interpretação geométrica de curvas.
Passo 2
Para existir
, o radicando deve satisfazer
Isso implica
, logo
. Portanto,
Passo 3
A imagem de
são os valores de
quando
percorre
. Como
– o valor mínimo ocorre em , dando
,
– o valor máximo ocorre em , dando
,
segue que
– o valor mínimo ocorre em
– o valor máximo ocorre em
segue que
Passo 4
A função
não é injetora em
porque existem
com
Em particular, para todo
vale
mostrando que valores distintos de
geram o mesmo
.
Passo 5
O gráfico de
em
satisfaz
que corresponde à semicircunferência superior do círculo de raio
centrado na origem, isto é, à parte de
com
.
Resposta
a)
b)
c) Não, pois para
d) Gráfico: semicircunferência superior de raio (
,
)
b)
c) Não, pois
d) Gráfico: semicircunferência superior de raio