A função f : A B é dada por f(x)=raiz1-x^2.
a) Determine o domínio de f, isto é, A=x in R tal que existe f(x).
b) Determine a imagem de f, isto é, B=f(A).
c) A função f é injetora? Por quê?
d) Trace o gráfico da função f.

Passo 1

O enunciado define a função fcolon Ato B por f(x)=raiz1-x^2 e pede:
determinar o domínio A, a imagem B=f(A), verificar se f é injetora e traçar o gráfico de f.
O conteúdo envolve condições de existência de raízes, análise de extremos, definição de injetividade e interpretação geométrica de curvas.

Passo 2

Para existir f(x)=raiz1-x^2, o radicando deve satisfazer
1 - x^2 >= 0
Isso implica x^2<=1, logo -1<= x<=1. Portanto,
A = [-1,1]

Passo 3

A imagem de f são os valores de y=raiz1-x^2 quando x percorre [-1,1]. Como
– o valor mínimo ocorre em x=pm1, dando y=0,
– o valor máximo ocorre em x=0, dando y=1,
segue que
B = f(A) = [0,1]

Passo 4

A função f não é injetora em [-1,1] porque existem x1neq x2 com
f(x1)=f(x2)
Em particular, para todo ain(0,1] vale
f(a)=raiz1-a^2=f(-a),
mostrando que valores distintos de x geram o mesmo y.

Passo 5

O gráfico de f em [-1,1] satisfaz
y = raiz1-x^2, -1<= x<=1,;y>=0,
que corresponde à semicircunferência superior do círculo de raio 1 centrado na origem, isto é, à parte de x^2+y^2=1 com y>=0.

Resposta

a) A=[-1,1]
b) B=[0,1]
c) Não, pois f(x)=f(-x) para xneq0
d) Gráfico: semicircunferência superior de raio 1 ( x^2+y^2=1, y>=0)

Exercícios de Livros Relacionados