Um caldo de fermentação com viscosidade 10^{-2} \mathrm{~Pa} s e densidade 1000 \mathrm{Kg} \mathrm{m}^{-3} é agitado em um tanque usando um impelidor marinho (hélice naval) de 1,3 \mathrm{~m} de diâmetro. Calcule a potência requerida para uma velocidade de rotação de 4 \mathrm{~s}^{-1}.

Passo 1

O problema nos dá um fluido newtoniano com viscosidade \mu = 10^{-2}\\ \mathrm{Pa\cdot s} e densidade \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, agitado por uma hélice naval de diâmetro D = 1{,}3\\ \mathrm{m} a uma velocidade de rotação N = 4\\ \mathrm{s^{-1}}. Queremos a potência P consumida pela hélice. O conteúdo da matéria é agitação mecânica, em que usamos o número de Reynolds para definir o regime de escoamento (laminar ou turbulento) e, em escoamento turbulento, a correlação
P = N_P\,\rho\,N^3\,D^5
onde N_P é o número de potência (constante no regime totalmente turbulento).

Passo 2

Calcular o número de Reynolds característico para agitadores, definido por
\mathrm{Re} \;=\;\frac{\rho\,N\,D^2}{\mu}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re} = \frac{1000\times 4\times (1{,}3)^2}{10^{-2}} = \frac{1000\times 4\times 1{,}69}{10^{-2}} = \frac{6760}{10^{-2}} =6{,}76\times10^5.
Como \mathrm{Re}\gg10^4, estamos em escoamento totalmente turbulento e, portanto, N_P é praticamente constante.

Passo 3

Para hélices navais (marine impellers) costuma-se adotar um número de potência típico N_P\approx0{,}3. Logo, usamos a correlação
P = N_P\,\rho\,N^3\,D^5.

Passo 4

Calcular numericamente:
N^3 = 4^3 = 64, \quad D^5 = (1{,}3)^5 \approx 3{,}713,
P = 0{,}3 \times 1000 \times 64 \times 3{,}713 \approx 0{,}3 \times 237\,632 \approx 71\,300\\ \mathrm{W}.

Resposta

A potência requerida é aproximadamente 7{,}1\times 10^4\\ \mathrm{W} (ou cerca de 71\\ \mathrm{kW}).

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