Estudando o efeito de algumas variáveis operacionais sobre o valor de K_{L} a, Eckenfelder chegou à seguinte equação:
\mathrm{K}_{\mathrm{L}} \mathrm{a}=\beta \cdot \mathrm{h}^{2 / 3} \cdot \mathrm{Q} / 10 \cdot \mathrm{~V} \cdot \mathrm{~d}_{\mathrm{B}} \cdot\left(\mathrm{~N}_{\mathrm{SC}}\right)^{1 / 2}
Com base nesta equação, calcular a vazão de ar para um biorreator de 512 \mathrm{~m}^{3}, com nível de líquido igual a 8 metros, de forma a reproduzir o nível de aeração de um fermentador de 1 \mathrm{~m}^{3}, nível de líquido igual a 1 metro, aerado a uma taxa de 0,8 \mathrm{vvm} . \mathrm{Q}= vazão de gás, h - altura do líquido, V - volume do tanque, \beta - constante de ajuste empírica, \mathrm{N}_{\mathrm{SC}} - número de Schimidt e \mathrm{d}_{\mathrm{B}} - propriedade do oxigênio (deve ser mantida) na ampliação de escala.
Resposta: \mathrm{Q}_{2}=102,40 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}

Passo 1

O enunciado trata de ampliar a taxa de aeração de um fermentador (caso 1) para um biorreator maior (caso 2), mantendo igual o volumétrico de transferência de oxigênio K_La. A relação empírica de Eckenfelder é
K_La \;=\;\beta\;h^{2/3}\;\frac{Q}{10\,V\,d_B\,\sqrt{N_{SC}}}
onde h é a altura de líquido, Q a vazão de gás, V o volume do tanque e os demais termos são constantes que se mantêm iguais na ampliação de escala.

Passo 2

Para obter a mesma aeração nos dois sistemas, igualamos
K_{L}a_1 \;=\;K_{L}a_2.
Assim,
\beta\,h_1^{2/3}\,\frac{Q_1}{10\,V_1\,d_B\,\sqrt{N_{SC}}} \;=\; \beta\,h_2^{2/3}\,\frac{Q_2}{10\,V_2\,d_B\,\sqrt{N_{SC}}}.
Cancelam-se \beta, 10, d_B e \sqrt{N_{SC}}.

Passo 3

Isolando Q_2, obtemos
Q_2 \;=\; Q_1\;\frac{h_1^{2/3}}{h_2^{2/3}}\;\frac{V_2}{V_1}.

Passo 4

No fermentador de 1 m^{3} aerado a 0,8 vvm (volumes de gás por volume de líquido por minuto), temos
Q_1 = 0{,}8\;\frac{\text{m}^3_{\text{gás}}}{\text{m}^3_{\text{líq}}\cdot\min}\;\times\;V_1 \;=\; 0{,}8\;\times1 \;=\; 0{,}8\;\frac{\text{m}^3}{\min}.áí

Passo 5

Substituindo Q_1=0{,}8\,\text{m}^3/\min, h_1=1,m, h_2=8,m, V_1=1, m^{3} e V_2=512, m^{3}:
Q_2 =0{,}8\;\frac{1^{2/3}}{8^{2/3}}\;\frac{512}{1} =0{,}8\;\frac{512}{4} =0{,}8\times128 =102{,}40\;\frac{\mathrm{m}^3}{\min}.

Resposta

A vazão de ar requerida é
Q_2 = 102{,}40\;\mathrm{m}^3/\min.

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